Grenzwert Nachweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Do 31.10.2013 | | Autor: | phychem |
Hallo
Ich soll beweisen, dass [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] und [mm] \bruch{n^k}{k!} [/mm] für festes [mm] k\in\IN [/mm] asymptotisch gleich sind, also dass die Quotientenfolge gegen 1 konvergiert.
Es ist also zu zeigen, dass
[mm] \bruch{n^k*(n-k)!}{n!} [/mm]
gegen 1 konvergiert. Dieser Bruch lässt sich ja kürzen zu:
[mm] \bruch{n^k}{n*(n-1)*...*(n-k+1)}
[/mm]
Dieser is offensichtlich nach unten beschränkt durch 1. Aber das ist auch schon alles, was ich bisher hab. Irgendwie gelingt mir der Konvergenznachweis einfach nicht....am einfachsten wäre es wohl eine Folge zu finden, deren n-tes Glied jeweils alle grössergleich dem obigen Quotient ist und die gegen 1 konvergiert. Aber ich find einfach keine solche Folge...
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Do 31.10.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo phychem!
> Hallo
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> Ich soll beweisen, dass [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] und [mm]\bruch{n^k}{k!}[/mm]
> für festes [mm]k\in\IN[/mm] asymptotisch gleich sind, also dass die
> Quotientenfolge gegen 1 konvergiert.
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> Es ist also zu zeigen, dass
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> [mm]\bruch{n^k*(n-k)!}{n!}[/mm]
>
> gegen 1 konvergiert. Dieser Bruch lässt sich ja kürzen
> zu:
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> [mm]\bruch{n^k}{n*(n-1)*...*(n-k+1)}[/mm]
>
> Dieser is offensichtlich nach unten beschränkt durch 1.
> Aber das ist auch schon alles, was ich bisher hab.
> Irgendwie gelingt mir der Konvergenznachweis einfach
> nicht....am einfachsten wäre es wohl eine Folge zu finden,
> deren n-tes Glied jeweils alle grössergleich dem obigen
> Quotient ist und die gegen 1 konvergiert. Aber ich find
> einfach keine solche Folge...
>
> Kann mir hier jemand weiterhelfen?
Nimm lieber den Kehrwert:
[mm]\bruch{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{n^k}=\frac{n}{n}*\frac{n-1}{n}*\ldots *\frac{n-k+1}{n}[/mm]
Nach dem Kürzen kannst du bequem den Grenzwert für [mm]n\to\infty[/mm] berechnen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Do 31.10.2013 | | Autor: | phychem |
Ahja, das ist wirklich viel einfacher. Einfach noch jeden Bruch durch n kürzen, Grenzwertsätze anwenden und fertig.
Danke, damit hat sich die Frage erledigt.
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