Grenzwert, Maximum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 So 18.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Seien A,B [mm] \ge [/mm] 0. Zeigen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{A^{n}+B^{n}} [/mm] = max {A,B}. |
Guten Abend,
Meine Gedanken zu der Aufgabe sind:
Für den Grenzwert von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{A^{n}+B^{n}} [/mm] sind im Unendlichen beide Summanden relevant. Und der Grenzwert soll jetzt das Maximum (was wohl ein Supremum und dass wir eine nach nach oben beschränkte Folge haben impliziert. Was ist jetzt mit max{A,B} gemeint? Heißt die Folge jetzt {A,B}?
Ich habe keinen blassen Schimmer, was ich bei der Aufgabe auch nur machen soll.
Ich hoffe auf eure Hilfe,
mfg
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Seien A,B [mm]\ge[/mm] 0. Zeigen Sie:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{A^{n}+B^{n}}[/mm] = max
> {A,B}.
>
> Guten Abend,
>
> Meine Gedanken zu der Aufgabe sind:
>
> Für den Grenzwert von
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{A^{n}+B^{n}}[/mm] sind im
> Unendlichen beide Summanden relevant. Und der Grenzwert
> soll jetzt das Maximum (was wohl ein Supremum und dass wir
> eine nach nach oben beschränkte Folge haben impliziert.
> Was ist jetzt mit max{A,B} gemeint? Heißt die Folge jetzt
> {A,B}?
>
Nein. Du sollst zeigen, daß die Folge [mm] $\left(\wurzel[n]{A^{n}+B^{n}}\right)_n$ [/mm] konvergiert und ihr Grenzwert die größere der Zahlen A und B ist. Es ist also entgegen Deinen Vermutungen nur das Maximum von A und B für den Grenzwert "relevant".
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 18.11.2012 | | Autor: | zjay |
Ah okay, dass heißt ich muss zunächst einmal zeigen, dass die Folge konvergiert.
Kann ich annehmen, dass
| [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{A^{n}+B^{n}} [/mm] - a | < [mm] \epsilon [/mm] für [mm] \epsilon [/mm] > 0 gilt,
oder muss ich die Konvergenz mithilfe des Konvergenzkriteriums zeigen (Monotonie und Beschränktheit)?
Was soll ich mir unter dem Maximum von A und B vorstellen? Ich kann mir nachwievor unter dem Ausdruck max{A,B} nichts vorstellen. Soll ich eine Fallunterscheidung treffen für A > B und B > A und für beide Fälle den Grenzwert a (von A) und b (von B) zeigen?
Gruß,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ah okay, dass heißt ich muss zunächst einmal zeigen, dass
> die Folge konvergiert.
>
> Kann ich annehmen, dass
>
> | [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{A^{n}+B^{n}}[/mm] - a |
> < [mm]\epsilon[/mm] für [mm]\epsilon[/mm] > 0 gilt,
>
> oder muss ich die Konvergenz mithilfe des
> Konvergenzkriteriums zeigen (Monotonie und
> Beschränktheit)?
Nein. Du kannst die Konvergenz über den Einschließungssatz zeigen:
Sind [mm] $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ [/mm] Folgen, so daß [mm] $a_n\le b_n \le c_n$ [/mm] für alle $n$ und konvergieren die Folgen [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(c_n)$ [/mm] gegen denselben Grenzwert, so konvergiert auch [mm] $b_n$ [/mm] gegen diesen.
>
> Was soll ich mir unter dem Maximum von A und B vorstellen?
A und B sind Zahlen. Und das Maximum ist die größere der beiden Zahlen. Was ist daran so schwer zu verstehen? Das verstehe ich nicht. Das Maximum von 2 und 3 ist 3 und das Maximum von -2 und -3 ist -2. OK?
> Ich kann mir nachwievor unter dem Ausdruck max{A,B} nichts
> vorstellen. Soll ich eine Fallunterscheidung treffen für A
> > B und B > A und für beide Fälle den Grenzwert a (von A)
> und b (von B) zeigen?
Nein. Hier ist keine Fallunterscheidung nötig. Sei [mm] $C=\max\{A, B\}$. [/mm] Dann ist [mm] $C\ge [/mm] A$ und [mm] $C\ge [/mm] B$. Damit kannst Du die Folge einschließen:
[mm] $\root [/mm] n [mm] \of {C^n} \le \root [/mm] n [mm] \of {A^n+B^n} \le \root [/mm] n [mm] \of {2*C^n}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Und jetzt bleibt Dir zu zeigen, daß die linke und die rechte Folge gegen denselben Grenzwert konvergieren.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 So 18.11.2012 | | Autor: | zjay |
Ich fand die Aussage recht befremdlich. Oder es liegt vllt daran, dass ich eine Pause brauche .. ich weiß es nicht. Mal schauen ob ich die Aufgabe noch zu morgen mittag lösen kann. Aber danke für deinen Tipp.
mfg,
zjay.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mo 19.11.2012 | | Autor: | zjay |
Diese Aufgabe haben wir recht schnell hingekriegt:
[mm] \wurzel[n]{C^{n}} [/mm] konvergiert für n -> [mm] \infty [/mm] gegen C, die rechte Folge [mm] \wurzel[n]{2C^{n}\} [/mm] ebenso, da die Wurzel teilweise radiziert werden kann zu C * [mm] \wurzel[n]{2}. [/mm] Da 2 > 0 ist, konvergiert die [mm] \wurzel[n]{2} [/mm] gegen 1 und C konvergiert gegen C.
Deswegen muss [mm] \wurzel[n]{A^{n}+B^{n\}} [/mm] auch gegen C konvergieren.
Folglich gilt für alle 3 Folgen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{C^{n}} \ge \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{A^{n}+B^{n}} \ge \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2C^{n}}, [/mm] dass sie gegen C konvergieren.
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Diese Aufgabe haben wir recht schnell hingekriegt:
>
> [mm]\wurzel[n]{C^{n}}[/mm] konvergiert für n -> [mm]\infty[/mm] gegen C, die
> rechte Folge [mm]\wurzel[n]{2C^{n}\}[/mm] ebenso, da die Wurzel
> teilweise radiziert werden kann zu C * [mm]\wurzel[n]{2}.[/mm] Da 2
> > 0 ist, konvergiert die [mm]\wurzel[n]{2}[/mm] gegen 1 und C
> konvergiert gegen C.
>
> Deswegen muss [mm]\wurzel[n]{A^{n}+B^{n\}}[/mm] auch gegen C
> konvergieren.
>
> Folglich gilt für alle 3 Folgen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{C^{n}} \ge \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{A^{n}+B^{n}} \ge \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2C^{n}},[/mm]
anstatt des [mm] $\ge$ [/mm] meintest Du [mm] $\le\,,$
[/mm]
> dass sie gegen C konvergieren.
Genau. Bzw. nochmal kurz zusammengefasst:
Die Behauptung folgt aus
[mm] $$C=\sqrt[n]{C^n} \le \sqrt[n]{A^n+B^n} \le \sqrt[n]{2*C^n}=\sqrt[n]{2}*\sqrt[n]{C^n}$$
[/mm]
- wegen [mm] $\lim_{n \to \infty}C=C\,$ [/mm] und [mm] $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{2}=1\,$ [/mm] - mit dem Einschließungskriterium.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mo 19.11.2012 | | Autor: | zjay |
Oh ja, stimmt genau. Ich hatte meine Antwort auch nur noch aus dem Gedächtnis zitiert, da ich den Übugnszettel davor schon abgegeben hab =P
Aber danke für den Hinweis ;)
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo zjay,
> Was soll ich mir unter dem Maximum von A und B vorstellen?
> Ich kann mir nachwievor unter dem Ausdruck max{A,B} nichts
> vorstellen.
es gilt doch $A,B [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Und die Menge [mm] $\{A,\;B\}$ [/mm] ist endlich: Für
[mm] $A=B\,$ [/mm] ist sie sogar nur einelementig und für $A [mm] \not=B$ [/mm] ist sie
zweielementig.
Per Defiinitionem ist [mm] $m=\max [/mm] M$ für $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] genau dann, wenn
1.) Es gilt $m [mm] \in M\,.$
[/mm]
und
2.) Für alle $m' [mm] \in [/mm] M$ gilt $m' [mm] \le m\,.$
[/mm]
(Nebenbei: Bei endlichen Teimengen der reellen Zahlen weiß man stets,
dass sie ein Maximum und ein Minimum besitzen. (Algorithmisch sortiert
man etwa einfach "die endlich vielen Zahlen" 'von klein nach groß'!)
Unter einer ENDLICHEN Menge versteht man hier, dass die Menge nur
ENDLICH VIELE Elemente hat!)
Nun gilt für eine (ein- oder zweielementige) Menge [mm] $M=\{A,B\}$ [/mm] wie man
sich leicht klar macht, dass:
Ist $A [mm] \ge B\,,$ [/mm] so ist [mm] $\max\{A,B\}=A\,.$
[/mm]
Ist $A [mm] \le B\,,$ [/mm] so ist [mm] $\max\{A,B\}=B\,.$
[/mm]
Man kann - hier übertriebenermaßen - sogar schreiben:
[mm] $$\max\{A,B\}=\frac{A+B+|A-B|}{2}\,.$$
[/mm]
Das könntest Du nun auch mal beweisen, wenn Du willst...
P.S. Entsprechend wäre [mm] $\min\{A,B\}=\frac{A+B-|A-B|}{2}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 So 18.11.2012 | | Autor: | zjay |
Auch dir recht herzlichen Dank für deinen Ansatz Marcel.
Jetzt brummt mir mein Kopf schon, weswegen ich gleich Schluss machen werde, aber ich werde mich morgen mit meinen Komilitonen über deinen Ansatz beugen und hoffentlich werden wir schlau daraus.
Bis dahin,
gruß
zjay
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo zjay,
> Auch dir recht herzlichen Dank für deinen Ansatz Marcel.
> Jetzt brummt mir mein Kopf schon, weswegen ich gleich
> Schluss machen werde, aber ich werde mich morgen mit meinen
> Komilitonen über deinen Ansatz beugen und hoffentlich
> werden wir schlau daraus.
welchen Ansatz? Hier geht es nur darum, dass Du daran erinnert wirst,
was das Maximum einer Menge ist. Dass man das Maximum einer
zweielementigen Menge auch noch speziell schreiben kann, wird Dir
(irgendwann mal) andersweitig helfen - bei der Aufgabe hier hilft
Wolfgangs Abschätzung und vielleicht auch eine Erinnerung, dass
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{C}=1\,$$
[/mm]
für alle $C > [mm] 0\,$ [/mm] gilt - bei der Aufgabe kannst Du diese Aussage für
speziell [mm] $C=2\,$ [/mm] anwenden.
Gruß,
Marcel
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