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| Aufgabe | Es sei $X$ der Vektorraum aller stetigen Funktionen [mm] [0,1]\to \IR.
[/mm]
Wir betrachten die Metriken
[mm] d(f,g)=\integral_{0}^{1}{|f(x)-g(x)| dx}
[/mm]
und
[mm] d'(f,g)=\max{|f(x)-g(x)| |x\in[0,1]}
[/mm]
Wir betrachten
[mm] f_n:[0,1]\to\IR [/mm] mit [mm] f_n(x)=\begin{cases} 1-nx, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Man beachte, dass [mm] f_n\in$X$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass [mm] (f_n) [/mm] in dem metrischen Raum $(X,d)$ gegen die Nullfunktion konvergiert
(b) Konvergiert [mm] (f_n) [/mm] gegen die Nullfunktion in dem metrischen Raum $(X,d')$? |
zu (a):
Hier muss ich doch eigentlich zeigen, dass [mm] $d(f_n,f)$ [/mm] mit f(x)=0 kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ab einem gewissen [mm] N\in\IN, [/mm] oder? Ich tue mir aber mit der Berechnung des Integrales schwer, weil ich nicht weiß, wie man die Funktionenfolge bezüglich der unterschiedlichen Intervalle integriert ... Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
zu (b):
Hier habe ich leider keine echte Idee.
Vielen Dank schon mal und liebe Grüße,
Alex
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Hallo,
setz doch bitte erst mal ein!
Dann schauen wir weiter
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Gut, das habe ich gemacht:
[mm] d(f_n,f)=\integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx}=\begin{cases} 1-0,5n, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
ich weiß halt nicht, ob das so stimmt, oder die Aufgabenstellung etwas anderes verlangt ...
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> Gut, das habe ich gemacht:
>
> [mm]d(f_n,f)=\integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx}=\begin{cases} 1-0,5n, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> ich weiß halt nicht, ob das so stimmt, oder die
> Aufgabenstellung etwas anderes verlangt ...
Das muss doch
[mm]d(f_n,f)=\integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx}=\begin{cases} 1-nx, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
heißen, dann kennst du doch beide elementar integrierbare Abschnitte und auf welchem Bereich sie liegen.
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Hey Niladhoc,
danke erst einmal für deine Antwort. Ich verstehe deinen Tipp noch nicht ganz.
Du meinst doch sicherlich, weil die obere Integralgrenze 1 ist, dass man ab einem gewissen [mm] N\in\IN [/mm] in den unteren Abschnitt "landet" und die untere Integralgrenze in den oberen Abschnitt "landet". Jedoch verstehe ich nicht, wie du das Integral bestimmt hast. Bei mir ist das Integral (ohne die Integralgrenzen einzusetzen):
[mm] F_n(x)=\begin{cases} x-0,5nx^2, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ C, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Ich weiß halt nicht genau, ob man einfach jeden Abschitt separat integrieren kann und dann die Integralgrenzen einsetzt.
Lieben Gruß,
Alex
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> [mm]F_n(x)=\begin{cases} x-0,5nx^2+C, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ C, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Ich weiß halt nicht genau, ob man einfach jeden Abschitt
> separat integrieren kann und dann die Integralgrenzen
> einsetzt.
Meine Idee ist jetzt für den Aufgabenteil (a) folgende:
Für ein beliebiges [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N\in\IN, [/mm] so dass [mm] \integral_{0}^{1}{f_N(x) dx}=C-(0-0,5N\cdot0^2 [/mm] + [mm] C)=0<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N
Das müsste doch eigentlich stimmen, oder?
Lieben Gruß,
Alexej
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Rechne mal über die Definition von Ober/Untersummen,dann treten keine Unstetigkeiten mehr auf.
Die Ergebnisse stimmen dabei zufällig überein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:07 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Rechne mal über die Definition von Ober/Untersummen,dann
> treten keine Unstetigkeiten mehr auf.
Auch das ist Quatsch !!
FRED
> Die Ergebnisse stimmen dabei zufällig überein.
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:10 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hey Niladhoc,
>
> danke erst einmal für deine Antwort. Ich verstehe deinen
> Tipp noch nicht ganz.
Der Tip ist auch nicht zu verstehen !
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?i=786805
Dazu noch ein Tipp:
Ist c [mm] \in [/mm] (0,1), so ist:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}= \integral_{0}^{c}{f(x) dx}+ \integral_{c}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
FRED
>
> Du meinst doch sicherlich, weil die obere Integralgrenze 1
> ist, dass man ab einem gewissen [mm]N\in\IN[/mm] in den unteren
> Abschnitt "landet" und die untere Integralgrenze in den
> oberen Abschnitt "landet". Jedoch verstehe ich nicht, wie
> du das Integral bestimmt hast. Bei mir ist das Integral
> (ohne die Integralgrenzen einzusetzen):
>
> [mm]F_n(x)=\begin{cases} x-0,5nx^2, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ C, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Ich weiß halt nicht genau, ob man einfach jeden Abschitt
> separat integrieren kann und dann die Integralgrenzen
> einsetzt.
>
> Lieben Gruß,
> Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:06 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Gut, das habe ich gemacht:
> >
> > [mm]d(f_n,f)=\integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx}=\begin{cases} 1-0,5n, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > ich weiß halt nicht, ob das so stimmt, oder die
> > Aufgabenstellung etwas anderes verlangt ...
> Das muss doch
> [mm]d(f_n,f)=\integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx}=\begin{cases} 1-nx, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> heißen,
Das ist doch völliger Quatsch !!!
FRED
> dann kennst du doch beide elementar integrierbare
> Abschnitte und auf welchem Bereich sie liegen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 Di 19.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > > Gut, das habe ich gemacht:
> > >
> > > [mm]d(f_n,f)=\integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx}=\begin{cases} 1-0,5n, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > ich weiß halt nicht, ob das so stimmt, oder die
> > > Aufgabenstellung etwas anderes verlangt ...
> > Das muss doch
> > [mm]d(f_n,f)=\integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx}=\begin{cases} 1-nx, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > heißen,
>
> Das ist doch völliger Quatsch !!!
>
> FRED
eigentlich schon, das Schlimme ist hier, dass sowohl der Fragende als auch der Antwortgebende etwas amderes meinten. Sicherlich wollte Nilsadhoc schreiben:
Das muss doch mit $f(x) [mm] \equiv [/mm] 0$ nun
[mm] $$d(f_n,f)=\integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx}\,,$$
[/mm]
wobei
$$ [mm] f_n(x)=\begin{cases} 1-nx, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
ist, heißen.
Daraus folgt dann unmittelbar (siehe auch Deine "Integralaufteilung")
[mm] $$d(f_n,f)=\int_0^{1/n} (1-nx)dx=\ldots\,.$$
[/mm]
Solche ein "Schreibpatzer" sollte zwar nicht passieren (ein Antwortgeber sollte ihn inbesondere auch nicht wiederholen; aber sowas passiert mir manchmal auch, wenn ich nicht ganz bei der Sache bin - deswegen warte ich dann lieber und antworte erst später mal wieder), aber je nach Uhrzeit kann's halt auch mal passieren (und Nilsadhoc wird jetzt sicher auch mit der Hand auf die Stirn hauen, dass er das gestern übersehen hatte). ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo Marcel,
noch eine Bemerkung: damit solche Patzer wie oben nicht passieren, sollte man immer eine Skizze machen. Dann sieht man sofort:
1. [mm] d(f_n,0)=\bruch{1}{2n} [/mm] (Flächeninhalt eines Dreiecks = Grundseite x Höhe durch 2)
2. [mm] d'(f_n,0) [/mm] =1
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Quadratur |
Ich sehe jetzt erst gerade, dass die Diskussion noch weiter ging. Hatte mit der Aufgabe schon längst abgeschlossen und sie letztlich genau so gemacht, wie Fred es vorgeschlagen hat. Danke für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Man kanns nicht mitansehen, was bislang geschrieben wurde !
Es ist
[mm] $d(f_n,0)= \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}= \integral_{0}^{1/n}{f_n(x) dx}= \integral_{0}^{1/n}{(1-nx) dx}= [x-\bruch{1}{2}nx^2]_0^{1/n}= \bruch{1}{2n}$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Di 19.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]X[/mm] der Vektorraum aller stetigen Funktionen [mm][0,1]\to \IR.[/mm]
>
> Wir betrachten die Metriken
>
> [mm]d(f,g)=\integral_{0}^{1}{|f(x)-g(x)| dx}[/mm]
> und
>
> [mm]d'(f,g)=\max{|f(x)-g(x)| |x\in[0,1]}[/mm]
>
> Wir betrachten
>
> [mm]f_n:[0,1]\to\IR[/mm] mit [mm]f_n(x)=\begin{cases} 1-nx, & \mbox{falls } x\in[0,\bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x\ge\bruch{1}{n} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Man beachte, dass [mm]f_n\in[/mm] [mm]X[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm](f_n)[/mm] in dem metrischen Raum [mm](X,d)[/mm]
> gegen die Nullfunktion konvergiert
>
> (b) Konvergiert [mm](f_n)[/mm] gegen die Nullfunktion in dem
> metrischen Raum [mm](X,d')[/mm]?
> zu (a):
>
> Hier muss ich doch eigentlich zeigen, dass [mm]d(f_n,f)[/mm] mit
> f(x)=0 kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] ab einem gewissen [mm]N\in\IN,[/mm]
> oder? Ich tue mir aber mit der Berechnung des Integrales
> schwer, weil ich nicht weiß, wie man die Funktionenfolge
> bezüglich der unterschiedlichen Intervalle integriert ...
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
>
> zu (b):
>
> Hier habe ich leider keine echte Idee.
>
> Vielen Dank schon mal und liebe Grüße,
> Alex
mit $f(x) [mm] \equiv [/mm] 0$ gilt doch für jedes [mm] $n\,$
[/mm]
[mm] $$d'(f_n,f)=\text{max}\{|f_n(x)-f(x): x \in [0,1]|\}=\text{max}\{1-nx: x \in [0,\;\;1/n]\}\,.$$
[/mm]
(Warum gilt das letzte Gleichheitszeichen?)
Wegen $x=0 [mm] \in [0,\;\;1/n]$ [/mm] siehst Du aber (beachte etwa [mm] $\{0\} \subseteq [0,\;\;1/n]$)
[/mm]
[mm] $$\text{max}\{\;1-nx: x \in [0,\;\;1/n]\;\} \ge \text{max}\{\;1-n*y:\; y \in \{0\}\;\}=1-n*0=1\,.$$
[/mm]
Kann also [mm] $d'(f_n,f) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gelten?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Quadratur |
Vielen Dank Marcel für deine Hilfe! Hatte schon eigentlich mit der Aufgabe abgeschlossen und die Lösung auf eigener Faust gefunden. Hatte eigentlich nur einen kleinen Denkfehler gehabt.
Viele Grüße,
Alexej
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