Grenzwert Floor Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Di 17.09.2013 | | Autor: | hula |
Hallo Forum
Ich habe folgenden Grenzwert und wüsste gerne, wie ich zeigen kann, dass dieser gegen 0 konvergiert: Sei $x>0$ eine reelle Zahl und [mm] $\lfloor [/mm] a [mm] \rfloo$ [/mm] die Gaussklammer, d.h. die grösste natürliche Zahl, die kleiner oder gleich $a$ ist.
[mm] $\lim_{n\to\infty}n x-\lfloor [/mm] nx [mm] \rfloor$
[/mm]
Ich kann den Grenzwert von unten mit $0$ abschätzen, aber von oben schaffe ich es nur zu zeigen, dass er kleiner $1$ sein muss. Wie kann ich zeigen, dass er $0$ sein muss?
Danke und Gruss
hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Di 17.09.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ich würde das mit dem Konvergenzkriterium für Nullfolgen machen. Dazu musst du ggf. noch begründen, weshalb
[mm]n* \left \lfloor x \right \rfloor \leq \left \lfloor n*x \right \rfloor[/mm]
gilt.
Sorry: da hatte ich einen Denkfehler. Siehe dazu die Antwort von abakus!
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Di 17.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Forum
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> Ich habe folgenden Grenzwert und wüsste gerne, wie ich
> zeigen kann, dass dieser gegen 0 konvergiert: Sei [mm]x>0[/mm] eine
> reelle Zahl und [mm]\lfloor a \rfloo[/mm] die Gaussklammer, d.h. die
> grösste natürliche Zahl, die kleiner oder gleich [mm]a[/mm] ist.
Hallo,
das konvergiert gar nicht, sondern bleibt periodisch.
Gruß Abakus
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> [mm]\lim_{n\to\infty}n x-\lfloor nx \rfloor[/mm]
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> Ich kann den Grenzwert von unten mit [mm]0[/mm] abschätzen, aber
> von oben schaffe ich es nur zu zeigen, dass er kleiner [mm]1[/mm]
> sein muss. Wie kann ich zeigen, dass er [mm]0[/mm] sein muss?
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> Danke und Gruss
>
> hula
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Wenn [mm]x>0[/mm] irrational ist und [mm]n,m[/mm] positive ganze Zahlen sind, dann folgt aus
[mm]nx - \lfloor nx \rfloor = mx - \lfloor mx \rfloor[/mm]
die Beziehung
[mm](n-m)x = \lfloor nx \rfloor - \lfloor mx \rfloor[/mm]
Hier steht außer für [mm]n=m[/mm] links eine irrationale Zahl und rechts eine ganze Zahl. Es muß daher [mm]n=m[/mm] gelten. Die Folge der [mm]a_n = nx - \lfloor nx \rfloor[/mm] hat daher keine zwei gleichen Glieder, kann also insbesondere nicht periodisch sein.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:11 Mi 18.09.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Ich habe folgenden Grenzwert und wüsste gerne, wie ich
> > zeigen kann, dass dieser gegen 0 konvergiert: Sei [mm]x>0[/mm]
> eine
> > reelle Zahl und [mm]\lfloor a \rfloo[/mm] die Gaussklammer, d.h.
> die
> > grösste natürliche Zahl, die kleiner oder gleich [mm]a[/mm]
> ist.
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> Hallo,
> das konvergiert gar nicht,
Es kann schon, siehe $x = 1$.
> sondern bleibt periodisch.
Dann muss bereits $x$ rational sein, siehe die Antwort von Leopold.
Um sich das ganze etwas konkreter vorzustellen, kann man ja schon die Teilfolge [mm] $(10^k)_k$ [/mm] von [mm] $(n)_n$ [/mm] anschauen: wenn $x = [mm] x_0 [/mm] . [mm] x_1 x_2 x_3 \ldots$ [/mm] die Dezimalentwicklung von $x$ ist (mit [mm] $x_0 \in \IZ$ [/mm] und [mm] $x_1, x_2, \dots \in \{ 0, \dots, 9 \}$, [/mm] so ist [mm] $10^k [/mm] x - [mm] \lfloor 10^k [/mm] x [mm] \rfloor [/mm] = 0 . [mm] x_{k+1} x_{k+2} x_{k+3} \ldots$.
[/mm]
Wenn man also z.B. $x = 0.12121212...$ nimmt, so sieht man gleich, dass es gar nicht konvergieren kann. (In diesem Fall ist die Teilfolge periodisch, die eigentliche Folge aber nicht.)
Die Folge selber kann uebrigens durchaus auch periodisch sein, wie man am Beispiel $x = [mm] \tfrac{1}{2}$ [/mm] sieht: dann bekommt man abwechselnd $0$ und [mm] $\tfrac{1}{2}$ [/mm] als Folgenglieder. Mit etwas mehr Anstrengung kann man auch zeigen, dass jede rationale Zahl zu einer periodischen Folge fuehrt, die genau dann konvergiert, wenn die Zahl bereits ganzzahlig ist.
LG Felix
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