Grenzwert + exp(-z^2) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Do 27.10.2005 | | Autor: | Dea |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe ein kleines Problem:
Ich muss den Grenzwert
[mm] \limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{c} {\exp(-x^2) dx}
[/mm]
für c >0 bestimmen.
In einem Buch habe ich dann auch das Ergebnis gefunden: [mm] \bruch{1}{2}* \wurzel{\pi}
[/mm]
aber leider keine Tipps zum Weg.
Ich hatte dann die Idee, die exp-Funktion durch eine Entwicklung zu ersetzen, etwa expx= [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{x^i}{i!} [/mm] , war mir aber dann nicht schlüssig, ob ich diese für [mm] exp(-x^2) [/mm] auch verwenden kann (einfach einstzen???).
Ich kann mir beim besten Willen nicht erklären, woher das [mm] \pi [/mm] kommen soll...
Gerade eben habe ich noch etwas in einer Übungsmitschrift gefunden: [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {\exp(- \bruch{x^2}{2}) dx} [/mm] = [mm] \wurzel{2*\pi}
[/mm]
Das geht ja in die richtige Richtung, aber ich weiß leider nicht, wieso das so ist, das wurde uns einfach als "Tatsache" präsentiert.
Vieleicht kann mir jemand helfen, also mir das Ergebnis dieses Integrals erklären und wie man darauf kommt. Dann könnte ich ein analoges Verfahren vieleicht auf mein Problem anwenden.
Schon mal Danke!
Dea
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Leider weiß ich nicht genau, welche mathematischen Voraussetzungen du hast (außer: Grundstudium, aber das ist weitläufig  ).
Man kann das Integral ausrechnen, indem man ins Zweidimensionale geht und das Ganze über Polarkoordinaten berechnet:
[mm] $\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx \right)^2 [/mm] = [mm] \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{\infty}re^{-r^2}\, drd\varphi [/mm] = [mm] \pi$.
[/mm]
und daraus dann
[mm] $\int\limits_0^{\infty} e^{-x^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi}$.
[/mm]
Oder aber ihr sollt tatsächlich
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-x^2}{2}}\, [/mm] dx = [mm] \sqrt{2\pi}$
[/mm]
benutzen und dann auf euer Ergebnis mittels Substitution kommen.
In welchem Semester bist du?
Wenn du im ersten bist, dann wird es zweiteres sein, wenn du im zweiten oder dritten bist, dann wohl ersteres. Wenn du Funktionentheorie gehört hast, dann kann man es auch ganz anders machen...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Dea |
Hallo!
Dann sag ich mal danke!
Ich studiere MA/Phy LA Gymnasium und bin grad ins 5. Semster gekommen (somit eigentlich schon Hauptstudium...), die erste Lösung ist somit perfekt für mich.
Liebe Grüße,
Dea
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