Grenzwert < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Fr 09.03.2012 | | Autor: | fernweh |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert
[mm] $\limes_{z\rightarrow0}\bruch{(Re (z))(Im (z))}{\bar z}$ [/mm] |
Hallo zusammen
Eigentlich tönt die Aufgabe nicht so schwierig, aber irgendwie weiss ich nicht wie anfangen. Klar, ich könnte l'Hôpital anwenden, nur haben wir die in der komplexen Analysis noch nicht eingeführt, aber wie kann cih das alternativ lösen?
Wir haben als Tipp bekommen, man soll den Grenzwert des Betrages ausrechnen, aber wenn ich das tue, habe ich ja am Schluss trotzdem zwei Variablen (Real- und Imaginärteil), die beide gegen Null gehen - aber welcher ist stärker gewichtet...
Irgendwie fehlt es mir an Ideen, kann mir jemand sagen, in welche RIchtung ich suchen muss :) Sitze nun schon lange davor ...
Ach ja, mir ist klar, dass der Grenzwert vermutlich 0 sein wird (den Achsen entlang ergibt sich immer 0, also wird der Grenzwert owhl auch 0 sein), also geht es einfach darum, nachzuweisen, dass das auch wirklich ein Grenzwert ist - nur wie?
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Fr 09.03.2012 | | Autor: | abakus |
> Berechne den Grenzwert
> [mm]\limes_{z\rightarrow0}\bruch{(Re (z))(Im (z))}{\bar z}[/mm]
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> Hallo zusammen
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> Eigentlich tönt die Aufgabe nicht so schwierig, aber
> irgendwie weiss ich nicht wie anfangen. Klar, ich könnte
> l'Hôpital anwenden, nur haben wir die in der komplexen
> Analysis noch nicht eingeführt, aber wie kann cih das
> alternativ lösen?
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> Wir haben als Tipp bekommen, man soll den Grenzwert des
> Betrages ausrechnen, aber wenn ich das tue, habe ich ja am
> Schluss trotzdem zwei Variablen (Real- und Imaginärteil),
> die beide gegen Null gehen - aber welcher ist stärker
> gewichtet...
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> Irgendwie fehlt es mir an Ideen, kann mir jemand sagen, in
> welche RIchtung ich suchen muss :) Sitze nun schon lange
> davor ...
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> Ach ja, mir ist klar, dass der Grenzwert vermutlich 0 sein
> wird (den Achsen entlang ergibt sich immer 0, also wird der
> Grenzwert owhl auch 0 sein), also geht es einfach darum,
> nachzuweisen, dass das auch wirklich ein Grenzwert ist -
> nur wie?
>
> Viele Grüsse
Hallo,
die komplexe Zahl z besitzt den Betrag r und ein beliebiges Argument [mm]\phi[/mm]. Damit lässt sich der Term [mm]\bruch{(Re (z))(Im (z))}{\bar z}[/mm] umformen zu
[mm]\bruch{(r*cos\phi)(r*sin\phi)}{r*(cos(-\phi)+i*sin(-\phi))}[/mm].
Aus diesem Term kürzt sich ein Faktor r heraus, und das verbleibende r geht beim Grenzwertprozess gegen Null...
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Fr 09.03.2012 | | Autor: | fernweh |
Ach... das ist ja ganz einfach, ich habe nie daran gedacht, dass man ja Re(z) durch Cos(z) und entsprechend Im(z) durch Sin(z) ersetzen könnte, vielen dank! :)
Viele Grüsse
Lukas
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