Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fernweh |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert:
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \vektor{n \\ k } $\frac{1}{n^k} [/mm] |
Hallo zusammen
Also eigentlich ist mir klar, dass der Grenzwert $ [mm] \frac{1}{k!} [/mm] $ ist, aber ich habe Mühe, das zu formulieren.
Kann ich das einfach auseinander nehmen und sagen, dass jeder einzelne Faktor gegen 1 geht?
Also
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \vektor{n \\ k } \frac{1}{n^k} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{k!}*\frac{n}{n}*\frac{n-1}{n}* [/mm] ... * [mm] \frac{n-k+1}{n}*\frac{(n-k)!}{(n-k)!}) [/mm] $
Und da nun $ [mm] n\rightarrow\infty [/mm] $, ist geht jeder Faktor gegen 1 ausser der erste, also geht das Produkt gegen den ersten Faktor, also ist die Lösung [mm] $\frac{1}{k!}$.
[/mm]
Oder gibt es eine bessere Erklärung?
Gruess
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Hallo,
im Prinzip ist das ausreichend argumentiert. Die Brüche
[mm] \bruch{n-1}{n}
[/mm]
bis
[mm] \bruch{n-k+1}{n}
[/mm]
werden dabei üblicherweise noch zerlegt zu
[mm] 1-\bruch{1}{n}, 1-\bruch{2}{n}, [/mm] ...
das macht das Konvergenzverhalten unmittelbar ersichtlich.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fernweh |
Super, hab vielen Dank :)
Gruess
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