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Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 Sa 20.08.2011
Autor: RWBK

Aufgabe
Bestimmen Sie den Grenzwert von

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{n^{n}-4}{n^{2}-4} [/mm]


Guten morgen,

es würde mich freuen wenn mich jemand ggf auf Fehler die ich bei dieser Aufgabe mache aufmerksam machen würde. Ich würde diese Aufgabe mittels l´Hospital lösen


[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{n^{n}-4}{n^{2}-4}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{n*ln(n)}-4}{n^{2}-4} [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}*(ln(n)+1)}{2n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}*(\bruch{1}{n}+(ln(n)+1)^{2})}{2} [/mm]
Hmm irgendwie bringt mich das auch nicht weiter. Hab ich schon wieder irgendetwas falsch gemacht?

mfg

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:46 Sa 20.08.2011
Autor: fred97


> Bestimmen Sie den Grenzwert von
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{n^{n}-4}{n^{2}-4}[/mm]
>  
> Guten morgen,
>  
> es würde mich freuen wenn mich jemand ggf auf Fehler die
> ich bei dieser Aufgabe mache aufmerksam machen würde. Ich
> würde diese Aufgabe mittels l´Hospital lösen

Oh je !

>  
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{n^{n}-4}{n^{2}-4}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{n*ln(n)}-4}{n^{2}-4}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}*(ln(n)+1)}{2n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}*(\bruch{1}{n}+(ln(n)+1)^{2})}{2}[/mm]
>  Hmm irgendwie bringt mich das auch nicht weiter. Hab ich
> schon wieder irgendetwas falsch gemacht?

Ich habs mir nicht genau angesehen. Dein Folge ist divergent:

Zeige: [mm] \bruch{n^{n}-4}{n^{2}-4} \ge n^{n-2} [/mm]  für n [mm] \ge [/mm] 2.

FRED

          

>  
> mfg


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:51 Sa 20.08.2011
Autor: RWBK

Hallo,

ich versteh schon wieder nichts woran sieht man denn jetzt das die Funktion divergent ist?

mfg

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Sa 20.08.2011
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich versteh schon wieder nichts woran sieht man denn jetzt
> das die Funktion divergent ist?

Was treibt denn die Folge [mm] (n^{n-2} [/mm] ) ?

Wir haben


$ [mm] \bruch{n^{n}-4}{n^{2}-4} \ge n^{n-2} [/mm] $


Was macht dann die Folge  ( [mm] \bruch{n^{n}-4}{n^{2}-4}) [/mm] ?

FRED

>  
> mfg


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 Di 23.08.2011
Autor: RWBK

Hallo,

die Lösung dieser Aufgabe ist doch das
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}-4}{n^{2}-4}=\infty [/mm] oder?
(Zwischenschritte habe ich mir in diesem Fall einmal gespart.)

mfg


Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Di 23.08.2011
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> die Lösung dieser Aufgabe ist doch das
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}-4}{n^{2}-4}=\infty[/mm]
> oder?

Ja


>  (Zwischenschritte habe ich mir in diesem Fall einmal
> gespart.)

zeig sie mal her !

FRED

>  
> mfg
>  


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 Di 23.08.2011
Autor: RWBK

Hallo,

ich hab zwei mal im Zähler und im Nenner die Ableitungen gebildet. Dann steht da als letzter Schritt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}*(ln(n)+1)*(ln(n)+1)+n^{n-1}}{2}=\infty [/mm]
(alle Ausdrücke im Zähler sind monton wachsend)

mfg

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Di 23.08.2011
Autor: schachuzipus

Hallo RWBK,


> Hallo,
>  
> ich hab zwei mal im Zähler und im Nenner die Ableitungen
> gebildet. Dann steht da als letzter Schritt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}*(ln(n)+1)*(ln(n)+1)+n^{n-1}}{2}=\infty[/mm]

Das hast dzu richtig berechnet!

Allerdings ist das (wie Fred schon sagte) ein unnötig aufwendiger Weg ...

>  (alle Ausdrücke im Zähler sind monton wachsend)

Und unbeschränkt  

> mfg

Gruß

schachuzipus


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