Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:58 So 08.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Man zeige: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}}=\bruch{1}{k+1}. [/mm] |
Hallo zusammen^^
Wenn ich den Grenzwert der obenstehenden Folge berechne,bekomme ich was anderes raus, unzwar 0. Es ist doch
[mm] \bruch{1^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}}=\bruch{1^{k}+...+n^{k}}{n^{k}}*\bruch{1}{n}. [/mm] Und der zweite Faktor geht gegen 0, somit auch die Folge.
Ich weiß,das ist falsch, aber wieso darf man das nicht so machen?
Woher weiß ich denn,welche Umformung ich jetzt machen darf und welche nicht?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 So 08.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo Mandy,
die Aufgabe schreit nach de L’Hospital. Die Regel findest du sicher in deinem Skript. Da steht dann auch, wann die Regel angewendet werden darf.
Tipp: Du musst die Regel mehrmals anwenden, nämlich k-mal.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Di 10.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo barsch,
> die Aufgabe schreit nach de L’Hospital. Die Regel findest
> du sicher in deinem Skript. Da steht dann auch, wann die
> Regel angewendet werden darf.
>
> Tipp: Du musst die Regel mehrmals anwenden, nämlich
> k-mal.
Danke für den Tipp. Am liebsten würde ich es ja mit de L'Hospital ausrechnen, aber darf ich nicht, weil wir die Regel noch nicht gemacht haben, und Ableitungen haben wir auch noch nicht gemacht. Ich kenns halt noch aus der Schule.
Deswegen muss ich es irgendwie anders lösen. Ich hab nochmal im Skript geguckt und das einzige,was dieser Aufgabe ähnelt, ist der Satz von Stolz,aber ich weiß nicht ob er hier hilft.Wir haben ihn so aufgeschrieben:
"Seien [mm] (a_{n}),(b_{n}) [/mm] Foglen reeller Zahlen und gelte:
[mm] 1.(y_{n}) [/mm] sei streng monoton wachsend und konv. gegen + [mm] \infty
[/mm]
2. [mm] \bruch{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}} \to [/mm] Y [mm] \in \IR \cup \{\pm\infty\}.
[/mm]
Dann konvergirt [mm] \bruch{x_{n}}{y_{n}} [/mm] gegen y."
Jetzt hab ich überlegt ob ich das irgendwie auf meine Folge anwenden kann,aber ich sehe da keinen Zusammenhang.
Sieht jemand was oder weiß wie man an die Aufgabe rangehen kann?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Di 10.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo Mandy,
das klingt jetzt vielleicht komisch und ich weiß auch nicht, ob dich das wirklich ans Ziel bringt, aber da ich den von dir genannten Satz nicht kenne, fällt mir nur noch Induktion über k ein.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}}=\bruch{1}{k+1}. [/mm]
Den Zähler kann man als Summe schreiben: [mm]1^k+...+n^k=[/mm][mm]\summe_{i=0}^{n}i^k [/mm]
Für k=1 (oder auch k=0, das ist dir dann überlassen, sieht das dann so aus):
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\summe_{i=0}^{n}i^1 }{n^{1+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\summe_{i=0}^{n}i }{n^{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n(n+1)}{2*n^2}[/mm]
Und das konvergiert gegen [mm]\bruch{1}{k+1}\overset{k=1}{=}\bruch{1}{2}[/mm].
Jetzt musst du mal sehen, ob dir ein gelungener Induktionsschritt einfällt.
Viel Erfolg.
Ich hoffe auf Rückmeldung, bin gespannt, ob das so hinhaut 
Viele Grüße
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Di 10.05.2011 | | Autor: | barsch |
Wobei hier natürlich unterstellt wird, dass [mm]k\in\IN[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Do 12.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo barsch,
vielen Dank für deine Hilfe.
> Ich hoffe auf Rückmeldung, bin gespannt, ob das so hinhaut
>
>
Ich habs jetzt auch mit Induktion probiert,aber das klappt nicht bzw. ich krieg den Induktionsschritt nicht hin.Ich poste die Schritte jetzt nicht,aber wenn du sie sehen willst, kann ich das noch machen.Ich glaube, ich lasse die Aufgabe mal so und werde dann versuchen die Lösung nachzuvollziehen.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Fr 13.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo barsch,
>
> > die Aufgabe schreit nach de L’Hospital. Die Regel findest
> > du sicher in deinem Skript. Da steht dann auch, wann die
> > Regel angewendet werden darf.
> >
> > Tipp: Du musst die Regel mehrmals anwenden, nämlich
> > k-mal.
>
> Danke für den Tipp. Am liebsten würde ich es ja mit de
> L'Hospital ausrechnen, aber darf ich nicht, weil wir die
> Regel noch nicht gemacht haben, und Ableitungen haben wir
> auch noch nicht gemacht. Ich kenns halt noch aus der
> Schule.
> Deswegen muss ich es irgendwie anders lösen. Ich hab
> nochmal im Skript geguckt und das einzige,was dieser
> Aufgabe ähnelt, ist der Satz von Stolz,aber ich weiß
> nicht ob er hier hilft.Wir haben ihn so aufgeschrieben:
>
> "Seien [mm](a_{n}),(b_{n})[/mm] Foglen reeller Zahlen und gelte:
> [mm]1.(y_{n})[/mm] sei streng monoton wachsend und konv. gegen +
> [mm]\infty[/mm]
> 2. [mm]\bruch{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}} \to[/mm] Y [mm]\in \IR \cup \{\pm\infty\}.[/mm]
>
> Dann konvergirt [mm]\bruch{x_{n}}{y_{n}}[/mm] gegen y."
>
> Jetzt hab ich überlegt ob ich das irgendwie auf meine
> Folge anwenden kann,aber ich sehe da keinen Zusammenhang.
Das geht prima : setze [mm] x_n:=1^k+....+n^k [/mm] und [mm] y_n:= n^{k+1}
[/mm]
FRED
> Sieht jemand was oder weiß wie man an die Aufgabe
> rangehen kann?
>
> Vielen Dank
> lg
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