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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 So 23.05.2010 | | Autor: | murmel |
Ich habe folgende Formel gegeben:
[mm]4 \left| \bruch{\beta_1 + \beta_2}{2} \right| * sin \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right ) + 4 \left| \bruch{\beta_1 - \beta_2}{2} \right| * cos^2 \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right ) * \left[ sin \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right) \right]^{-1} [/mm]
Die oben gegebenen Formel habe ich in EXCEL eingetragen und dabei graphisch den Grenzwert ermitteln können.
[mm] \beta_1 [/mm] und [mm] \beta_2 [/mm] sind gegeben.
Er müsste bei 1,7825 liegen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei soll [mm] n \to \infty [/mm]
Kann man dies auch analytisch tun?
Ich weiß, dass ich den ersten Term der Gleichung wegfallen lassen könnte, wenn ich die Betrachtung für n gegen unendlich anwende, doch wenn ich für n jeweils Unendlich "einsetze", erhalte ich unbestimmte/ nicht eindeutige bzw. keine Grenzwerte.
Könnte mir jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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Hi,
der Grenzwert existiert, wie du richtig erkannt hast, nicht, weil
[mm] $$\lim_{n\to\infty}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2n+2}\right)\right)^{-1}$$
[/mm]
nicht existiert.
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Aber bin gerade nicht sicher, wie hast du ihn den abgelesen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 So 23.05.2010 | | Autor: | murmel |
Ich habe für n die Werte 0 bis 1000 eingegeben. Und habe dann die Funktionswerte berechnen lassen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 23.05.2010 | | Autor: | murmel |
Am Funktionsgraphen kann man doch einen Grenzwert ablesen, bzw. ist der Graph doch entsprechend verschoben. Hier liegt die Vermutung nahe, dass augrund der gegebenen Gleichung, der Graph einfach "Nullpunktsverschoben" ist, stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 So 23.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Am Funktionsgraphen kann man doch einen Grenzwert ablesen,
> bzw. ist der Graph doch entsprechend verschoben. Hier liegt
> die Vermutung nahe, dass augrund der gegebenen Gleichung,
> der Graph einfach "Nullpunktsverschoben" ist, stimmt das?
Und du bist sicher, dass dein Graph auch zu deiner angegebenen Gleichung passt?
Der Term [mm] \bruch{\pi}{2n+2} [/mm] geht gegen Null, damit geht auch [mm] sin\bruch{\pi}{2n+2} [/mm] gegen Null, und [mm] (sin\bruch{\pi}{2n+2})^{-1} [/mm] geht gegen unendlich.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 23.05.2010 | | Autor: | murmel |
Ok, dies ist die Gleichung wie ich sie anfänglich hier eingestellt hatte:
[mm]4 \left| \bruch{\beta_1 + \beta_2}{2} \right| * sin \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right ) + 4 \left| \bruch{\beta_1 - \beta_2}{2} \right| * cos^2 \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right ) * \left[ sin \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right) \right]^{-1} [/mm]
So steht sie in der Aufgabenstellung:
[mm]4 \left| \bruch{\beta_1 + \beta_2}{2} \right| * sin \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right ) + 4 \left| \bruch{\beta_1 - \beta_2}{2} \right| * cos \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right ) * cot \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right ) [/mm]
Ich hoffe, ich habe keine Schusselfehler gemacht?!
Ich gucke noch'mal schnell in EXCEL...
...Also, wenn der Kotangens
[mm] cot (x) = \bruch{cos (x)}{sin (x)} [/mm]
Dann sollte erstere Formel stimmen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 23.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Murmel!
Du hast Recht mit der Definition des [mm] $\cot(x)$ [/mm] .
Aber der Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\left[ \ \cos(x)*\cot(x) \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\cos(x)}{\tan(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{0}$ [/mm] existiert eindeutig nicht.
Von daher solltest Du mal zeigen, was Du genau bei Excel eingegeben hast.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 23.05.2010 | | Autor: | murmel |
Ok, das habe ich eingegeben.
Ich hoffe aus dem Bild ist der Zellbezug ersichtlich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 23.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo murmel!
Du hast hier bei einen Excel einen anderen Term eingegeben; nämlich:
$$ 4 \left| \bruch{\beta_1 + \beta_2}{2} \right| \cdot{} \sin \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right ) + 4 \left| \bruch{\beta_1 - \beta_2}{\red{n+1}} \right| \cdot{} \cos^2 \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right ) \cdot{} \left[ \sin \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right) \right]^{-1} $$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 So 23.05.2010 | | Autor: | murmel |
Ah ja! Stimmt, genauso steht das auch in der Aufgabe. 'Habe den Term verhunzt -bzw. den Nenner falsch eingegeben. Der Grenzwert, ändert sich dann aber (nicht)? Meine Eingabe hat da nichts Anderes gezeigt.
[mm]4 \left| \bruch{\beta_1 + \beta_2}{2} \right| * sin \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right ) + \bruch{4 \left| \bruch{\beta_1 - \beta_2}{2} \right|} {n+1} * cos^2 \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right ) * \left[ sin \left( \bruch{\pi}{2n+2} \right) \right]^{-1} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 So 23.05.2010 | | Autor: | murmel |
Ich denke, ich habe den Fehler gefunden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 So 23.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Murmel!
Damit verändert sich der gesamte analytische Weg zur Bestimmung des Grenzwertes!
Der 1. Term wird ja wirklich für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] zu Null.
Den zweiten Term kürze ich nun wie folgt ab und setzte $k \ := \ n+1$ :
[mm] $$\limes_{k\rightarrow\infty}\left[\bruch{A}{k}*\cos^2\left(\bruch{B}{k}\right)*\sin^{-1}\left(\bruch{B}{k}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow0}\left[A*x*\bruch{\cos^2\left(B*x\right)}{\sin\left(B*x\right)}\right]$$
[/mm]
Damit wird also:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow0}\left[A*x*\bruch{\cos^2\left(B*x\right)}{\sin\left(B*x\right)}\right]$$
[/mm]
$$= \ [mm] A*\bruch{\limes_{x\rightarrow0}\cos^2\left(B*x\right)}{\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\sin\left(B*x\right)}{x}}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{A}{B}*\bruch{\limes_{x\rightarrow0}\cos^2\left(B*x\right)}{\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\sin\left(B*x\right)}{B*x}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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