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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 So 13.12.2009 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | Finden Sie reelle Konstanten a und b, so dass gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[\wurzel{x^{2}-x+1}-ax-b)] [/mm] |
Die Wurzel verhält sich im unendlichen wie x, also gehe ich erstmal davon aus, dass a = 1 ist.
jetzt möchte ich den Grenzwert von [mm] \wurzel{x^{2}-x+1}-x [/mm] berechnen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[\wurzel{x^{2}-x+1}-x] [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[x*\wurzel{1-1/x+1/x^{2}}-x] [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[x*\wurzel{1}-x] [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[x-x] [/mm] = 0
ist das soweit korrekt?
ich hab das ganze zur Kontrolle mal in meinen Taschenrechner getippt und dabei kam raus, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[\wurzel{x^{2}-x+1}-x] =-\bruch{1}{2} [/mm] ist.
wer irrt sich jetzt, mein Taschenrechner, oder ich?
Ich danke schonmal für eure Hilfe!
MfG
Doc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Docci!
> Finden Sie reelle Konstanten a und b, so dass gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[\wurzel{x^{2}-x+1}-ax-b)][/mm]
Da scheint mir doch etwas in der Aufgabenstellung zu fehlen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 So 13.12.2009 | | Autor: | Docci |
wo bin ich nur mit meinen Gedanken, entschuldigt bitte.
Finden Sie reelle Kosntanten, so dass gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}[\wurzel{x^{2}-x+1}-ax-b)]=0
[/mm]
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> Finden Sie reelle Konstanten a und b, so dass gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[\wurzel{x^{2}-x+1}-ax-b)][/mm]
> Die Wurzel verhält sich im unendlichen wie x, also gehe
> ich erstmal davon aus, dass a = 1 ist.
>
> jetzt möchte ich den Grenzwert von [mm]\wurzel{x^{2}-x+1}-x[/mm]
> berechnen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[\wurzel{x^{2}-x+1}-x][/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[x*\wurzel{1-1/x+1/x^{2}}-x][/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[x*\wurzel{1}-x][/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[x-x][/mm] = 0
>
> ist das soweit korrekt?
nein
> ich hab das ganze zur Kontrolle mal in meinen
> Taschenrechner getippt und dabei kam raus, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[\wurzel{x^{2}-x+1}-x] =-\bruch{1}{2}[/mm]
> ist.
>
> wer irrt sich jetzt, mein Taschenrechner, oder ich?
der TR hat recht 
du musst differenzen (mit ner wurzel) und x gen [mm] \infty [/mm] sehr oft zu einem 3. binom erweitern:
[mm] \wurzel{x^{2}-x+1}-x=(\wurzel{x^{2}-x+1}-x)*\frac{\sqrt{x^2-x+1}+x}{\sqrt{x^2-x+1}+x}
[/mm]
hier dann ausmultiplizieren und kürzen...
der allgemeine ansatz für die aufgabe sieht dann genauso aus
>
> Ich danke schonmal für eure Hilfe!
> MfG
> Doc
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 So 13.12.2009 | | Autor: | Docci |
ja so funktioniert das wunderbar, vielen dank!
auf die idee mit dem binom bin ich leider nicht gekommen, aber im nachhinein ist es vollkommen logisch.
mfg
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