Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Di 26.05.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ich hatte hier folgende Aufgabe, und habe diese nicht ganz verstanden.
[mm] a_{D}= \bruch{2n^{2}+n+3}{n(n+1)}
[/mm]
Die Aufgabenstellung war, "Bestimmen sie den Grenzwert".
Da ist doch dann die 1. Ableitung gemeint, oder?
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Hallo Ice-Man!
Nein, hier ist nicht die Ableitung gemeint. Es ist der Grenzwert für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] gemeint.
Klammere dafür in Zähler und Nenner jeweils [mm] $n^2$ [/mm] aus und kürze.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:24 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Woher erkenne ich denn das der Grenzwert von "n" gesucht ist. (Ja,von der Aufgabenstellung) aber irgendwie leuchtet mir das nicht ganz ein.
Wie gesagt, ich dachte ich müsste ableiten...
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> Woher erkenne ich denn das der Grenzwert von "n" gesucht
> ist.
Weil die Aufgabe lautet "Bestimmen sie den Grenzwert" und n die einzig mögliche Laufvariable darstellt.
Wenn mehr als eine Variable drin wäre, wär das was anderes.
> Wie gesagt, ich dachte ich müsste ableiten...
Und wie begründest du das? Steht was davon in der Aufgabe?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Na ich weis jetzt nicht ob ich jetzt komplett falsch liege, aber ich dachte das dr Grenzwert = Differentialquotient ist, und das dachte ich entspricht der 1.Ableitung.
Oder?
Und deswegen dachte ich, ich komme zum Ergebnis indem ich die Quotientenregl anwende.
Aber da das falsch war, muss ich also nur kürzen und dann ausrechnen, oder wäre das auch falsch?
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Hallo, und erneut ein deutliche NEIN, keine Ableitung berechnen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n^{2}+n+3}{n^{2}+n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}(2+\bruch{1}{n}+\bruch{3}{n^{2}})}{n^{2}(1+\bruch{1}{n})}
[/mm]
(1.) jetzt erkennst du sicherlich, was du kürzen kannst,
(2.) überlege dir weiterhin, was mas mit den Summanden passiert, bei denen n oder [mm] n^{2} [/mm] im Nenner steht, damit du eine Vorstellung bekommst, setze doch für n mal 100, 1000, 10000 u.s.w. ein,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Vielen Dank.
Also ich würde jetzt so kürzen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= \bruch{2 + \bruch{3}{n^{2}}}{1}
[/mm]
Das ist aber glaube ich falsch.
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Hallo, ohje, Differenzen und Summen kürzen nur die ....., merke dir unbedingt dieses Sprichwort, so jetzt Versuch 2, was das Kürzen betrifft, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Den Satz hatte ich auch im Hinterkopf.
= [mm] \bruch{2 + \bruch{1}{n} + \bruch{3}{n^{2}}}{1 + \bruch{1}{n}}
[/mm]
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Hallo, das Kürzen hat ja nun geklappt, jetzt überlege dir was mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] \bruch{3}{n^{2}} [/mm] für immer größer werdende n passiert, bedenke auch meinen Hinweis von vorhin, was bleibt also im Zähler bzw. Nenner dann übrig, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Na ich würde sie auf gleiche Nenner bringen.
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Hallo, nein, jetzt mache mal folgendes, wir wollen untersuchen, was passiert mit [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] wenn n gegen [mm] \infty [/mm] läuft:
[mm] \bruch{1}{100}=0,01
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1000}=0,001
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1000}=0,0001
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1000000}=0,000001
[/mm]
u.s.w.
läuft also n gegen [mm] \infty, [/mm] so ist der Grenzwert von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gleich Null
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Aha,
na dann steht ja da am Ende,
[mm] \bruch{2}{1}, [/mm] und das ist ja 2, das Ergebnis.
So würde ich jetzt schlussfolgern.
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Hallo, und genau so ist die Lösung, Steffi
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Hallo Ice-Man,
da du bei der Aufgabe sofort an "Ableiten" gedacht hast, wollte ich noch ein paar Worte zum Thema Grenzwerte verlieren:
Die "Grenzwertbildung" bzw. die Suche nach Grenzwerten taucht in der Mathematik an ganz vielen Stellen auf. Vermutlich hast du diesen Begriff das erste Mal gesehen, als es um die Ableitung ging. Es ist aber nicht so, dass Ableitung=Grenzwert wäre, sondern du benutzt das Werkzeug der Grenzwertbildung, um die Ableitung zu finden.
Du sprichst ja von Differenzenquotienten, deswegen kannst du vielleicht dem Beispiel hier folgen:
Wenn du [mm]f(x)=x^2[/mm] ableiten willst (und noch keine Regeln dafür kennst), dann bildest du den Differenzenquotienten und formst ein bisschen um:
[mm]\bruch{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\bruch{(x-x_0)*(x+x_0)}{x-x_0}=x+x_0[/mm]
Grafisch gesehen hast du damit die Steigung einer Geraden gefunden, die deine Parabel bei der Stelle x und bei der Stelle [mm] x_0 [/mm] schneidet (Sekante). Du willst aber jetzt ja eigentlich die Steigung an der Stelle [mm] x_0 [/mm] haben. Also benutzt du jetzt das Werkzeug "Grenzwertbildung" und lässt deinen Wert [mm]x[/mm] gegen [mm]x_0[/mm] laufen und schaust dir an, was passiert. In diesem Fall kommt dann einfach [mm]2*x_0[/mm] raus, also das, was du bestimmt als Ableitung kennst.
Deine Aufgabe hat also nichts mit Ableiten zu tun, aber das Werkzeug, das du benutzen musst, ist das gleiche... du hast einen mathematischen Ausdruck (Term) da stehen, wo noch ein Buchstabe auftaucht und du willst wissen, was mit diesem Ausdruck passiert, wenn du für diesen Buchstaben eine "unendlich große" Zahl einsetzt.
Wie das rechnerisch geht, wird dir ja in den anderen Antworten erklärt. Du kannst aber vor dem Rechnen schon eine Vermutung bekommen, wenn du für n eine sehr große Zahl einsetzt (10.000 oder so), dann noch eine (100.000 oder so) zur Bestätigung der Vermutung, was wohl passieren wird, wenn n immer größer wird.
Ich hoffe, der Unterschied zwischen dem was du herausfinden willst (z.B. eine Ableitung) und dem Werkzeug, das du dafür benutzt (z.B. Grenzwertbildung, Bruchrechnung, ...) wird dir so ein bisschen klarer.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Vielen Dank.
Nur, mir wurde mal gesagt, das ich den Wert gegen "0" und nicht gegen [mm] "\infty" [/mm] laufen lassen soll.
Oder ist das egal?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Fr 29.05.2009 | | Autor: | chrisno |
ganz und gar nicht.
Im bisherigen hast Du immer größere Werte für n genommen und dann gefolgert, was passiert, wenn sie noch größer, letztliche also unendlich groß werden.
Nun ist die Frage, was kommt heraus, wenn n immer näher an Null herankommt. Du siehst sofort, dass Du in die Ausgangsformel nicht Null einsetzen darfst, weil Du ja sonst durch Null teilen würdest. Also muss Du wieder einen Trick suchen.
Zuerst aber solltest Du ein bischen rechnen:
n = 0,1
n = 0,001
n = 0,00001
Wie sieht das Ergebnis aus?
Nun aber muss ich noch ein bischen grnudsätzlich an der Aufgabe herummeckern. Es fehlt nämlich genau diese Angabe, gegen welchen Wert n laufen soll.
Nun ist es allgemein üblich, den Buchstaben n für die natürlichen Zahlen zu verwenden. Damit macht nur [mm] n->$\infty$ [/mm] Sinn.
Prinzipiell ist jeer Wert erlaubt. Für die meisten Werte ist die Lösung auch einfach. Für n=1 setzt Du eben für jedes n 1 ein und das wars. Für welchen weiteren Wert von n geht es nicht so einfach?
Weiterhin: wenn n nicht aus den natürlichen Zahlen kommen muss, dann kann man auch noch [mm] n->-$\infty$ [/mm] untersuchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ja, das sehe ich ein.
Ich hätt dann auch noch eine andere Frage,
wenn ich bei [mm] 2n^{2} [/mm] + n + 3 "n ausklammere"
wie komme ich denn, bzw. warum, auf [mm] n^{2}(2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{3}{n^{2}})
[/mm]
wieso komme ich da auf nen bruch?
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Hallo Ice-Man,
> Ja, das sehe ich ein.
>
> Ich hätt dann auch noch eine andere Frage,
> wenn ich bei [mm]2n^{2}[/mm] + n + 3 "n ausklammere"
Du meinst, wenn du [mm] $n^2$ [/mm] ausklammerst ..
> wie komme ich denn, bzw. warum, auf [mm]n^{2}(2[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> + [mm]\bruch{3}{n^{2}})[/mm]
> wieso komme ich da auf nen bruch?
Schreiben wir mal zu jedem Summanden den auszuklammernden Faktor [mm] $\red{n^2}$ [/mm] "dazu":
[mm] $2n^2+n+3=2\red{n^2}+\underbrace{\red{n^2}\cdot{}\frac{1}{n}}_{=n}+\underbrace{\red{n^2}\cdot{}\frac{3}{n^2}}_{=3}$
[/mm]
Nun kannst du den allen Summanden gemeinsamen Faktor [mm] $\red{n^2}$ [/mm] wie üblich ausklammern und kommst auf den obigen Ausdruck in deiner Frage
Oder vllt. sieht man es besser, wenn man entsprechend erweitert:
[mm] $2n^2+n+3=2n^2+\frac{\red{n^2}}{\red{n^2}}\cdot{}n+\frac{\red{n^2}}{\red{n^2}}\cdot{}3=\blue{n^2}\cdot{}2+\blue{n^2}\cdot{}\frac{n}{n^2}+\blue{n^2}\cdot{}\frac{3}{n^2}=\blue{n^2}\cdot{}\left(2+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}\right)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok,
mal sehen ob ich das verstehe.
Wenn wir von dem Bsp. jetzt mal ausgehen.
Dann würde das doch so aussschauen, oder?
[mm] \bruch{n^{2}}{n^{2}} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{3}{n^{2}})
[/mm]
Richtig?
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Hallo Ice-Man,
> Ok,
> mal sehen ob ich das verstehe.
> Wenn wir von dem Bsp. jetzt mal ausgehen.
> Dann würde das doch so aussschauen, oder?
>
> [mm]\bruch{n^{2}}{n^{2}}[/mm] * [mm](\bruch{2}{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{n^{2}})[/mm]
>
> Richtig?
Wenn im Nenner nur [mm]n^{2}[/mm] steht, dann ist das richtig.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, mal sehen ob ich das verstanden habe.
Wenn ich mal auf deine formulierung zurück komme.
[mm] \bruch{n^{2}}{n^{2}} [/mm] * 3, dann muss ich doch "3" mit [mm] n^{2} [/mm] erweitern, oder?
also steht doch dann da, [mm] \bruch{n^{2}}{n^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{3}{n^{2}}
[/mm]
und das ist doch dann gleich [mm] \bruch{n^{2} * 3}{n^{2} * n^{2}}, [/mm] oder?
Und dann kürzt sich doch [mm] n^{2} [/mm] weg, und dann bleibt doch [mm] \bruch{3}{n^{2}} [/mm] übrig, richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, mal sehen ob ich das verstanden habe.
>
> Wenn ich mal auf deine formulierung zurück komme.
> [mm]\bruch{n^{2}}{n^{2}}[/mm] * 3, dann muss ich doch "3" mit [mm]n^{2}[/mm]
> erweitern, oder?
>
> also steht doch dann da, [mm]\bruch{n^{2}}{n^{2}}[/mm] *
> [mm]\bruch{3}{n^{2}}[/mm]
> und das ist doch dann gleich [mm]\bruch{n^{2} * 3}{n^{2} * n^{2}},[/mm]
> oder?
>
> Und dann kürzt sich doch [mm]n^{2}[/mm] weg, und dann bleibt doch
> [mm]\bruch{3}{n^{2}}[/mm] übrig, richtig?
ich versteh' nicht, was Du da machst. Es ist [mm] $3=\frac{n^2}{n^2}*3=n^2*\frac{3}{n^2}\,.$ [/mm] Was bringt Dir das? Nichts. Außer vll. Verwirrung?!
Interessanter wird es sicher, wenn Du z.B. eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] definiert durch
[mm] $$a_n:=\frac{3+n^2}{n(n+1)}\;\;\;(n \in \IN)$$
[/mm]
vorliegen hast. Hier gilt
[mm] $$a_n=\frac{\frac{n^2}{n^2}*3+n^2}{n^2+\frac{n^2}{n}}=\frac{n^2*\Big(\frac{3}{n^2}+1\Big)}{n^2\Big(1+\frac{1}{n}\Big)}=\frac{\frac{3}{n^2}+1}{1+\frac{1}{n}} \to \frac{0+1}{1+0}=1/1=1\;\;\;(n \to \infty)$$
[/mm]
nach den Rechenregeln für konvergente Folgen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank.
>
> Nur, mir wurde mal gesagt, das ich den Wert gegen "0" und
> nicht gegen [mm]"\infty"[/mm] laufen lassen soll.
> Oder ist das egal?
Du mußt das im Zusammenhang sehen. Wenn man vom Grenzwert einer Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] spricht, so wird man da sicherlich der Index [mm] $n\,$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben lassen.
Bei der Ableitung einer Funktion [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] bildet man den ![[]](/images/popup.gif) Differenzenquotient, um damit z.B. zu untersuchen, ob der Differentialquotient von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] existiert, um ihn, im Falle der Existenz, bestenfalls auch anzugeben.
Dabei taucht dann sowas wie
[mm] $$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
[/mm]
auf, wobei man dann $h [mm] \to [/mm] 0$ streben lassen will, um herauszufinden, ob
[mm] $$\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
[/mm]
existiert (und welcher Wert dieser hat, wenn er existiert). Strenggenommen müsste/sollte man hier mit metrischen Räumen und Häufungspunkten etc. arbeiten, aber diese Begriffe sind sicher in der Schule noch nicht so gebräuchlich (der ein oder andere Lehrer wird sie - denke ich - bestenfalls mal am Rande erwähnen).
Man könnte sogar die Existenz etc. von
[mm] $$\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
[/mm]
mit Folgen untersuchen, aber auch da bin ich mir unsicher, ob man das so in der Schule schon lernt... Das wird da eher anhand von Beispielen und etwas Intuition eingeübt (durchaus auch mit den Graphen von gewissen Funktionen) - was jetzt nicht heißen soll, dass ich das schlechtreden will, aber es ist halt so, dass die ganzen Dinge an der Uni etwas strenger gelehrt werden...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hatte hier folgende Aufgabe, und habe diese nicht ganz
> verstanden.
>
> [mm]a_{\red{D}}= \bruch{2n^{2}+n+3}{n(n+1)}[/mm]
stand da nicht eher [mm] $a_{\blue{n}}=\ldots$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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