Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Di 15.02.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo zusammen,
ich moechte gern den Grenzwert von
[mm]\lim_{n\to\infty} \left(\underbrace{\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}}_{=:y}\right)^n,\quad n\ge2[/mm]
bestimmen. Jetzt habe ich mir gedacht, dass ich zunaechst nur y betrachte, davon den Grenzwert ermittle und anschliessend diesen Grenzwert erst mit n potenziere. Den Grenzwert von y habe ich mittels L'Hospital ermittelt und 1 als Ergebnis bekommen und 1 hoch n ist ja 1, was sich mit dem Grenzwert deckt, den ich mittels Computer berechnet habe.
Nun scheint das ja aber z.B. bei
[mm]\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/mm]
nicht mehr zu funktionieren, da dann ja 1 herauskommen wuerde und nicht e.
War die Vorgehensweise im ersten Beispiel einfach falsch und aus Zufall kommt das richtige heraus oder war es prinzipiell richtig, man kann so aber nur unter bestimmten Voraussetzungen vorgehen?
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Di 15.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Michael
dein Ansatz ist natürlich falsch. Du hast ja ein Gegenbeispiel gleich selbst gegeben.
Das Vorgehen geht nur, wenn der Exponent selber nicht gegen Unendlich strebt!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Di 15.02.2005 | | Autor: | michael7 |
Alles klar, danke fuer Deine schnelle Antwort!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 15.02.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo auch :)
kann man sagen, dass
aus dem Kriterium mit der geometrischen, Reihe (wie heißt es nur)
geschlossen,
dass y konvergieren muss und zwar gegen einen Wert <= 1 ?
Nun wir wissen ja, dass Konvergenzkriterien für endliche viele Elemente nicht gelten müssen.
So wie ich das sehe, ist der log ja streng monoton steigend, wid aber immer flacher, denke konvergiert auch selbst (?) muss wohl so sein.
Das heißt das y läuft gegen 1, wird aber wohl nie ganz eins... schon klar...
hmmmm....
Streng genommen heißt die Regel ja
konvergiert für alle n > N : y <= 1.
Aber y bleibt ja immer >1.
geht aber eben nur gegen 1.
Hmmm... irgenwie glaube ich, dass dass schon damit zu tun hat und es trotzdem gilt... vieleicht gibt es dazu permanenzregel für Grenzwerte ?
Antwort würde mich interessieren.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Di 15.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo baddi
mir sagt der Ausdruck Permanenzregel nichts! Das will aber nichts heissen! 
Deine Aufgabe war ja diese:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}\right)^n$
[/mm]
Hier würde ich einfach den Logarithmus nehmen und gleich wieder e hoch rechnen: (ich lasse Limes mal weg)
[mm] $e^{n*\ln\left(\bruch{\ln(n+1)}{\ln(n)}\right)}$
[/mm]
Die zu untersuchende Frage ist: was ist der Grenzwert des Exponenten?
Also von diesem Ausdruck:
[mm] $n*\ln\left(\bruch{\ln(n+1)}{\ln(n)}\right)$
[/mm]
Wenn man das Umformt zu
[mm] $\bruch{\ln\left(\bruch{\ln(n+1)}{\ln(n)}\right)}{\bruch{1}{n}}$
[/mm]
dann sollte man die Regel von De l'Hôpital anwenden können.
Ich hab das zu so später Stunde nicht mehr gemacht! Vielleicht schaffst du das?
Mit lieben Grüssen
Paul
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