Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mo 14.01.2008 | | Autor: | laihla |
| Aufgabe | Die Funktion hat an der Stelle [mm] x_0 [/mm] geau dann den Grenzwert G, wenn gilt:
(*) Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0 so dass für alle x mit X e D, x [mm] \ne x_0 [/mm] und Ix- x_0I < [mm] \delta [/mm] stets If(x)- GI < [mm] \epsilon. [/mm] |
Meine Frage: Gibt es zu einem vorgegebenen [mm] \epsilon [/mm] mehrere [mm] \delta?
[/mm]
Meine zweite Frage: Ich habe den Beweis für diesen Satz. Ich beweise in 2 Richtungen. Die eine Richtung ist mir klar. Die andere schildere ich kurz:
ich nehme an, dass (*) nicht gilt. das heißt nun:
Es existiert ein [mm] \epsilon_0 [/mm] > 0, sodass zu jedem [mm] \delta [/mm] > 0 stets ein x existiert mit x e D, x [mm] \ne x_0 [/mm] und Ix-x_0I < [mm] \delta, [/mm] für welches If(x)-GI [mm] \ge \epsilon_0. [/mm] Bis dahin ist es mir klar.
Nun heißt es, dass wir insbesondere zu jedem [mm] \delta:={1 \br n} [/mm] n e N ein [mm] x_n [/mm] mit [mm] x_n [/mm] e D, [mm] x_n \ne x_0 [/mm] und [mm] Ix_n-x_0I< \delta [/mm] für welches [mm] If(x)-GI\ge \epsilon_0. [/mm] (Ich habe dazu eine Zeichnung gemacht, und festgestellt, dass nicht immer die Bedingung [mm] If(x)-GI\ge \epsilon_0 [/mm] erfüllt ist, wenn ich delta gegen 0 konvergieren lasse.) Den weiteren Beweis verstehe ich. Da heißt es dann, dass [mm] \limes_{n \to \infty}x_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] ( da [mm] \delta_n [/mm] eine Nullfolge ist.) aber [mm] f(x_n) [/mm] konvergiert nicht gegen G, weil [mm] (f(x_n)-G) [/mm] keine Nullfolge ist. Und da ist der Widerspruch, weil ja [mm] f(x_n) [/mm] gegen G konvergieren muss, damit f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] einen Grenzwert hat.
Der Rückschluss ist mir klar, nur nicht, dass ich [mm] \delta [/mm] so wählen darf, obwohl das schon ein widerspruch ist.
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Danke im Voraus.
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> Die Funktion hat an der Stelle [mm]x_0[/mm] geau dann den Grenzwert
> G, wenn gilt:
> (*) Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]\delta[/mm] > 0 so
> dass für alle x mit X e D, x [mm]\ne x_0[/mm] und Ix- x_0I < [mm]\delta[/mm]
> stets If(x)- GI < [mm]\epsilon.[/mm]
> Meine Frage: Gibt es zu einem vorgegebenen [mm]\epsilon[/mm]
> mehrere [mm]\delta?[/mm]
Hallo,
ja, gibt es.
Bestimmt hast Du Bücher, in denen es Bildchen zum [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium gibt, und da siehst Du, daß die Sache genauso funktioniert, wenn Du eine [mm] \bruch{\delta}{10} [/mm] - Umgebung nimmst.
> Meine zweite Frage: Ich habe den Beweis für diesen Satz.
> Ich beweise in 2 Richtungen. Die eine Richtung ist mir
> klar. Die andere schildere ich kurz:
> ich nehme an, dass (*) nicht gilt. das heißt nun:
> Es existiert ein [mm]\epsilon_0[/mm] > 0, sodass zu jedem [mm]\delta[/mm] >
> 0 stets ein x existiert mit x e D, x [mm]\ne x_0[/mm] und Ix-x_0I <
> [mm]\delta,[/mm] für welches If(x)-GI [mm]\ge \varepsilon_0.[/mm] Bis dahin ist
> es mir klar.
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich wirklich verstehe, an welcher Stelle Dein Problem liegt.
Ich versuche jetzt mal, ein bißchen mit meinen Worten weiterzuerzählen.
Wir wissen also, daß es ein [mm] \varepsilon_0 [/mm] gibt, zu welchem man kein [mm] \delta [/mm] mit der geforderten Eigenschaft finden kann, sondern für jedes [mm] \delta [/mm] gibt es in der [mm] \delta [/mm] - Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ein x mit [mm] |f(x)-G|>\varepsilon_0.
[/mm]
Bis hierhin ist Dir ja auch noch alles klar.
Das gilt für jedes [mm] \delta. [/mm] Also auch für [mm] \delta_n:=\bruch{1}{n}.
[/mm]
Also findet man in jeder [mm] \bruch{1}{n}-Umgebung [/mm] von [mm] x_0 [/mm] ein [mm] x_n, [/mm] für welches [mm] |f(x_n)-G|>\varepsilon_0.
[/mm]
[mm] (x_n) [/mm] ist eine Folge, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, denn die [mm] \delta_n- [/mm] Umgebung v. [mm] x_0, [/mm] aus der das [mm] x_n [/mm] kommt, wird ja immer kleiner, das [mm] x_n [/mm] rückt also immer dichter an [mm] x_0.
[/mm]
Die Folge der Funktionswerte [mm] f(x_n) [/mm] hingegen konvergiert nicht gegen G, denn |f(x)-G| ist ja immer größer als [mm] \varepsilon_0.
[/mm]
Man hat also eine gegen [mm] x_0 [/mm] konvergierende Folge gefunden, für welche die Folge der Funktionswerte nicht gegen G konvergiert. Also ist G kein grenzwert der Funktion, und hiermit hat man den Widerspruch.
Gruß v. Angela
> Nun heißt es, dass wir insbesondere zu jedem [mm]\delta:={1 \br n}[/mm]
> n e N ein [mm]x_n[/mm] mit [mm]x_n[/mm] e D, [mm]x_n \ne x_0[/mm] und [mm]Ix_n-x_0I< \delta[/mm]
> für welches [mm]If(x)-GI\ge \epsilon_0.[/mm] (Ich habe dazu eine
> Zeichnung gemacht, und festgestellt, dass nicht immer die
> Bedingung [mm]If(x)-GI\ge \epsilon_0[/mm] erfüllt ist, wenn ich
> delta gegen 0 konvergieren lasse.) Den weiteren Beweis
> verstehe ich. Da heißt es dann, dass [mm]\limes_{n \to \infty}x_n[/mm]
> = [mm]x_0[/mm] ( da [mm]\delta_n[/mm] eine Nullfolge ist.) aber [mm]f(x_n)[/mm]
> konvergiert nicht gegen G, weil [mm](f(x_n)-G)[/mm] keine Nullfolge
> ist. Und da ist der Widerspruch, weil ja [mm]f(x_n)[/mm] gegen G
> konvergieren muss, damit f an der Stelle [mm]x_0[/mm] einen
> Grenzwert hat.
> Der Rückschluss ist mir klar, nur nicht, dass ich [mm]\delta[/mm]
> so wählen darf, obwohl das schon ein widerspruch ist.
> Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.
> Danke im Voraus.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mo 14.01.2008 | | Autor: | laihla |
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> Wir wissen also, daß es ein [mm]\varepsilon_0[/mm] gibt, zu welchem
> man kein [mm]\delta[/mm] mit der geforderten Eigenschaft finden
> kann sondern für jedes [mm]\delta[/mm] gibt es in der [mm]\delta[/mm] -
> Umgebung von [mm]x_0[/mm] ein x mit [mm]|f(x)-G|>\varepsilon_0.[/mm]
>
>
>
> Das gilt für jedes [mm]\delta.[/mm] Also auch für
> [mm]\delta_n:=\bruch{1}{n}.[/mm]
>
Kannst du mir das nochmals mit anderen Worten erklären, genau da hänge ich nämlich.
Dank4.
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> >
> > Wir wissen also, daß es ein [mm]\varepsilon_0[/mm] gibt, zu
> welchem
> > man kein [mm]\delta[/mm] mit der geforderten Eigenschaft finden
> > kann sondern für jedes [mm]\delta[/mm] gibt es in der [mm]\delta[/mm] -
> > Umgebung von [mm]x_0[/mm] ein x mit [mm]|f(x)-G|>\varepsilon_0.[/mm]
> >
> >
> >
> > Das gilt für jedes [mm]\delta.[/mm] Also auch für
> > [mm]\delta_n:=\bruch{1}{n}.[/mm]
> >
> Kannst du mir das nochmals mit anderen Worten erklären,
> genau da hänge ich nämlich.
Aussage (*) sagt ja:
zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] findet man ein passendes [mm] \delta [/mm] mit einer bestimmten Eigenschaft.
Für Deinen Beweis gehst Du davon aus, daß (*) nicht gilt, denn Du willst ja einen Widerspruch erzeugen.
Es gilt also nicht: zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] findet man ein passendes [mm] \delta [/mm] mit einer bestimmten Eigenschaft.
Wenn das nicht gilt, findet man mindestens ein [mm] \varepsilon_0, [/mm] für welches das nicht stimmt.
Man findet also ein [mm] \varepsilon_0 [/mm] , zu welchem es kein passendes [mm] \delta [/mm] gibt.
Welches [mm] \delta [/mm] auch immer man für dieses [mm] \varepsilon_0 [/mm] auch wählt, nie gilt die Eigenschaft.
Also gilt für sämtliche [mm] \delta [/mm] nicht die Eigenschaft.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mo 14.01.2008 | | Autor: | laihla |
Also bedeutet der indirekte Beweis:
Dass es zu jedem [mm] \epsilon_0 [/mm] immer ein [mm] \delta [/mm] gibt, so dass für alle [mm] x_n [/mm] e D, [mm] x_n\ne x_0 [/mm] und [mm] Ix_n-x_0I [/mm] < [mm] \delta [/mm] stets [mm] If(x_n)-G)I \ge \epsilon_0 [/mm]
um das zu beweisen nehme ich also an, dass es ein [mm] \delta_n:= [/mm] 1/n für welche die aussage wahr ist. Hierbei ist es egal, wie ich [mm] \delta [/mm] wähle, sollte am besten einfach ein nullfolge sein, damit ich später zu einem widerspruch komme. (Obwohl ich hier schon sehe, dass es keins gibt, (zum Beispiel an der Zeichnung führe ich den beweis zu ende)
am ende des beweises erhalte ich eine falsche Aussage, weil [mm] (f(X_n) [/mm] nicht gegen G konvergiert. Daher gibt es kein [mm] \delta_n [/mm] für welches die Aussage wahr ist.
Kann ich das so argumentieren?
Danke für deine Antwort.
Grüße von Laihla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Mo 14.01.2008 | | Autor: | laihla |
ich glaube jetzt hab ichs verstanden:
es existiert ein [mm] \epsilon_o [/mm] so, dass es zu jedem [mm] \delta [/mm] (also, egal welches ich wähle, also am besten eine Nullfolge) stets ein x existiert, mit x e D,....
also wähle ich [mm] \delta_n:= [/mm] 1/n
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> Also bedeutet der indirekte Beweis:
> Dass es zu jedem [mm]\epsilon_0[/mm] immer ein [mm]\delta[/mm] gibt, so dass
> für alle [mm]x_n[/mm] e D, [mm]x_n\ne x_0[/mm] und [mm]Ix_n-x_0I[/mm] < [mm]\delta[/mm] stets
> [mm]If(x_n)-G)I \ge \epsilon_0[/mm]
Hallo,
solch ein [mm] \delta, [/mm] wie Du es beschreibst, finde ich oft auch für Funktionen, die in [mm] x_0 [/mm] einen Grenzwert haben - ich muß dann halt das [mm] \delta [/mm] groß genaug wählen.
Die Negation der Aussage sagt: egal, welches [mm] \delta [/mm] ich zu dem vorgebenen [mm] \varepsilon [/mm] wähle, ob [mm] \delta:=\bruch{3}{4}, \delta:=\bruch{1}{137}, \delta:=\bruch{1}{4567891234567}, [/mm] immer finde ich in der [mm] \delta-Umgebung [/mm] ein x, für welches f(x) weiter als [mm] \varepsilon_0 [/mm] von G entfernt ist.
> um das zu beweisen nehme ich also an, dass es ein
> [mm]\delta_n:=[/mm] 1/n für welche die aussage wahr ist.
Nein, Du nimmst das nicht an.
Du nimmst an, daß (*) nicht gilt, und darus folgt, daß Du für [mm] \delta_n:=1/n (n\in \IN) [/mm] ein [mm] x_n [/mm] findest, für welches [mm] f(x_n) [/mm] weiter als [mm] \varepsilon_0 [/mm] von G entfernt ist. Denn das gilt ja für alle deltas, also auch für dieses spezielle.
> Hierbei ist
> es egal, wie ich [mm]\delta[/mm] wähle, sollte am besten einfach
> ein nullfolge sein, damit ich später zu einem widerspruch
> komme.
Genau. Wenn Du jetzt [mm] \delta'_n:= [/mm] n betrachten würdest, wäre das ziemlich witzlos.
Da es für jedes [mm] \delta [/mm] gilt, wählt man es natürlich so, daß es nützlich ist.
Durch die Wahl des [mm] \delta [/mm] als [mm] \delta_n:=1/n, [/mm] wird [mm] "x_n [/mm] an [mm] x_0 [/mm] gepreßt".
> am ende des beweises erhalte ich eine falsche Aussage,
> weil [mm](f(X_n)[/mm] nicht gegen G konvergiert.
Das ist ein Widerspruch dazu, daß G der Grenzwert von f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ist.
Die Annahme, daß (*) nicht gilt, führt zum Widerspruch. Also muß (*) gelten.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mo 14.01.2008 | | Autor: | laihla |
Danke. Ich habs jetzt verstanden! :)
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