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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Grenzwert

Grenzwert < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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Grenzwert: hilfe beim ansatz

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:58 Do 15.11.2007
Autor:	Karlchen

Aufgabe

 Berechnen Sie [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}\integral_{0}^{z}{h(t) dt}
 [/mm]

[mm] h(t)=\bruch{t}{3}*e^{2-\bruch{t}{60}} [/mm]

Hallo zusammen^^

[mm] also\limes_{z\rightarrow\infty}\integral_{0}^{z}{(\bruch{t}{3}*e^{2-\bruch{t}{60}}) dt} [/mm]
[mm] =[-20(t+60)*e^{2-\bruch{t}{60}}]^{z}_{o} [/mm]

[mm] =-20z-1200e^{2-\bruch{z}{60}}-(-1200*e^{2}) [/mm]

so mein problem is jez, dass ich nicht weiter weiß. Ich muss doch z gegen unendlich laufen lass, oder? und vorallem wie?

Gruß Karlchen

Bezug

Grenzwert: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:19 Do 15.11.2007
Autor:	schachuzipus

Hallo Karlchen,

dein Weg ist schon genau der richtige, allerdings hast du einen Fehler bei der Berechung der Stammfunktion gemacht.

Leite doch zur Kontrolle [mm] $-20(t+60)\cdot{}e^{2-\frac{z}{60}}$ [/mm] wieder ab, dann müsste ja $h(t)$ rauskommen.

Du kannst es dir vereinfachen, wenn du das Integral vorher etwas umschreibst:

Es ist [mm] $\int\limits_{0}^zh(t)\, dt=\int\limits_{0}^z\frac{t}{3}\cdot{}e^{2-\frac{t}{60}}\, dt=\frac{1}{3}\blue{\int\limits_{0}^zt\cdot{}e^{2-\frac{t}{60}}\, dt}=\frac{1}{3}(H(z)-H(0))$ [/mm]

Dieses [mm] \blue{\text{blaue}} [/mm] ;-)

Integral löse mit partieller Integration.

Dann den Grenzübergang: [mm] $\lim\limits_{z\to\infty}\frac{1}{3}(H(z)-H(0))=\frac{1}{3}\lim\limits_{z\to\infty}(H(z)-H(0))$ [/mm]

LG

schachuzipus

Bezug

Grenzwert: Rückfrage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	22:37 Do 15.11.2007
Autor:	Karlchen

hallöchen und dankeschön^^

aber die Stammfunktion müsste stimmen:

H(t)= [mm] -20(t+60)\cdot{}e^{2-\frac{t}{60}} [/mm]

H'(t)= [mm] -20*[e^{2-\frac{z}{60}}+(t+60)*(-\bruch{1}{60})*e^{2-\frac{t}{60}}] [/mm]

= [mm] -20*(e^{2-\frac{t}{60}}*(-\bruch{t}{60})) [/mm]

[mm] =\bruch{20t}{60}*e^{2-\frac{t}{60}} [/mm]

[mm] =\bruch{t}{3}*e^{2-\frac{t}{60}} [/mm]

müsste eigentlich richtig sein.

sorry, aber hab bis jez noch nie etwas von partieller Integration gehört, ham wir bisher noch nich behandelt. Man kann es aber auch so lösen, oder?

> Dann den Grenzübergang:
> [mm]\lim\limits_{z\to\infty}\frac{1}{3}(H(z)-H(0))=\frac{1}{3}\lim\limits_{z\to\infty}(H(z)-H(0))[/mm]
>

ja und genau das ist mein Problem. Wie mache ich das?

Bezug

Grenzwert: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:11 Do 15.11.2007
Autor:	schachuzipus

Hallo

> hallöchen und dankeschön^^
>
> aber die Stammfunktion müsste stimmen:
>
> H(t)= [mm]-20(t+60)\cdot{}e^{2-\frac{t}{60}}[/mm]
>
> H'(t)=
> [mm]-20*[e^{2-\frac{z}{60}}+(t+60)*(-\bruch{1}{60})*e^{2-\frac{t}{60}}][/mm]
>
> = [mm]-20*(e^{2-\frac{t}{60}}*(-\bruch{t}{60}))[/mm]
>
> [mm]=\bruch{20t}{60}*e^{2-\frac{t}{60}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{t}{3}*e^{2-\frac{t}{60}}[/mm]
>
> müsste eigentlich richtig sein.

Ich hatte es mit part. Integration gemacht und ne "andere " Stammfunktion rausbekommen.

Ist aber dieselbe, nur getarnt ;-)

Hab's übersehen

>
> sorry, aber hab bis jez noch nie etwas von partieller
> Integration gehört, ham wir bisher noch nich behandelt. Man
> kann es aber auch so lösen, oder?
>
> > Dann den Grenzübergang:
> >
> [mm]\lim\limits_{z\to\infty}\frac{1}{3}(H(z)-H(0))=\frac{1}{3}\lim\limits_{z\to\infty}(H(z)-H(0))[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

>  >
>
> ja und genau das ist mein Problem. Wie mache ich das?
>

Setze zuerst mal die Grenzen ein:

$=-20(\red{z}+60)e^{2-\frac{\red{z}}{60}}-(-20(\blue{0}+60)e^2-\frac{\blue{0}}{60})=(-20z-1200)e^{2-\frac{z}{60}}+1200e^2$

So der hintere Teil $1200e^2$ konvergiert für $z\to\infty$ trivialerweise gegen $1200e^2$, das ist ja bzgl. z ne Konstante

Bleibt die Konvergenz von $(-20z-1200)e^{2-\frac{z}{60}}$ zu untersuchen.

Das geht am einfachsten mit Hilfe von Herrn de l'Hospital und seiner Regel.

Dazu schreiben wir $(-20z-1200)e^{2-\frac{z}{60}}$ um:

$(-20z-1200)e^{2-\frac{z}{60}}=\frac{-20z-1200}{e^{\frac{z}{60}-2}}$

Nach Potenzgesetz $a^m=\frac{1}{a^{-m}}$

Das strebt nun für $z\to\infty$ gegen $\frac{-\infty}{\infty}$, also einen unbestimmten Bruch, erfüllt also schön die Voraussetzungen, um de l'Hospital anwenden zu können.

Nun Zähler und Nenner getrennt (!) ableiten:

$=\frac{-20}{\frac{1}{60}e^{\frac{z}{60}-2}}=\frac{-1200}{e^{\frac{z}{60}-2}}}$

Nun erneut den Grenzüberganz $z\to\infty$

Dann strebt das gegen ...

Also insgesamt gegen....

LG

schachuzipus

Bezug

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