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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:49 Di 30.11.2004 | | Autor: | kleines-sax |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe mit Lösung und ich kann einen Schritt der Lösung nicht nachvollziehen.
Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n!}= \infty
[/mm]
Die Lösung lautet:
Sei p [mm] \in \IN [/mm] beliebig. Dann gilt für n>p:
n!=p!(p+1)....n> [mm] \bruch{p!p^{n}}{p^{p}} [/mm] ; [mm] \wurzel[n]{n!}>p \wurzel[n]{ \bruch{p!}{p^{p}}}
[/mm]
Wegen [mm] \wurzel[n]{ \bruch{p!}{p^{p}}} \to [/mm] 1 gilt [mm] \wurzel[n]{n!}> {\bruch{p}{2}} [/mm] für hinreichend große n. Da p beliebig groß war wächst [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm] über alle Grenzen!
so meine Frage ist jetzt warum n!=p!(p+1)....n> [mm] \bruch{p!p^{n}}{p^{p}} [/mm] das gilt, besser gesagt, wie man darauf kommt? und dann ist mir noch unklar warum auf einmal [mm] \wurzel[n]{n!}>p/2
[/mm]
vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen und mir das erklären.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Di 30.11.2004 | | Autor: | kuroiya |
also, du hast ja n! = p!(p+1)...(p-n) = [mm] p!p^{p-n} [/mm] und aus n > p folgt n! > p!.
aus der Ungleichung [mm] \produkt_{i=1}^{n}(p+i) [/mm] > [mm] p^{n-p} [/mm] folgt dann
n! > [mm] \bruch{p!p^{n}}{p^{p}}
[/mm]
die n-te Wurzel liefert das angegebene Zwischenresultat.
Warum es am Ende > [mm] \bruch{p}{2} [/mm] und nicht p gibt, sehe ich jetzt auch nicht, hoffe, das kann noch jemand erklären
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Fr 03.12.2004 | | Autor: | spongebob |
Warum steht da p/2 und nicht p als untere Schranke?
Weil die Grenzwertsätze so lauten:
Ist [mm] b\in \IR [/mm] und [mm] (a_{n})_{n} [/mm] eine reelle Folge mit:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN a_{n} [/mm] > b.
Dann folgt lediglich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \ge [/mm] b.
Also muss b nach unten mit b/2 abgeschätzt werden, damit
man ein echtes "grösser" erhält.
Für den Beweis deiner Bhptg. ist es aber egal, ob da jetzt
ein echtes "grösser" oder nur ein "grösser gleich" steht.
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