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Forum "Rationale Funktionen" - Grenzwert
Grenzwert < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Do 15.02.2007
Autor: Chrissi21

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2} [/mm]
Bestimmen sie Definitionsbereich, Nullstellen, Asymptoten, Grenzwerte und Näherungsverhalten der Funktion f.

Als Nullstelle hab ich x=-1.
Da für [mm] x_0=-0,5 [/mm]  das Nennerpolynom gleich 0 ist, liegt dort eine Definitionslücke vor und der Definitionsbereich besteht somit aus allen reelen Zahlen, ausgenommen der Definitionslücke.
Die Funktion hat den Grenzwert [mm] \limes_{n \to \infty}f(x)= [/mm] 2, da Zähler- und Nennerpolynom gleichen Grad haben.
Eine Asymptote läuft parallel zur y-Achse durch [mm] x_p=-0,5 [/mm] und parallel zur x-Achse durch den Grenswert a=2.
Die Nullstelle [mm] x_0=-1 [/mm] und der Pol [mm] x_p=-0,5 [/mm] bilden die Bereichsgrenze. f(-3)= 0, d.h. alle Funktionswerte links von -1 sind positiv. f(-0,7)=1,77, demnach sind alle Werte im mittleren Bereich positiv. f(1,5)=1,3 also auch alle Werte rechts von [mm] x_p=-0,5 [/mm] sind positiv.
Richtig?

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Do 15.02.2007
Autor: Yuma

Hallo Chrissi,

> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2}[/mm].
> Bestimmen sie Definitionsbereich, Nullstellen, Asymptoten,
> Grenzwerte und Näherungsverhalten der Funktion f.
> Als Nullstelle hab ich x=-1.

Nein, $f(-1)=2$.
Du musst die Nullstellen des Zählers (quadratische Gleichung, MBP,Q-Formel) berechnen und prüfen, ob es nicht gleichzeitig Nennernullstellen sind.

> Da für [mm]x_0=-0,5[/mm]  das Nennerpolynom gleich 0 ist,

Nein, das Nennerpolynom ist $-1,25$ für $x=0,5$.

> liegt dort
> eine Definitionslücke vor und der Definitionsbereich
> besteht somit aus allen reelen Zahlen, ausgenommen der
> Definitionslücke.

Das Nennerpolynom hat zwei Nullstellen!

> Die Funktion hat den Grenzwert [mm]\limes_{n \to \infty}f(x)=2[/mm],
> da Zähler- und Nennerpolynom gleichen Grad haben.

Diese Erklärung kann ich überhaupt nicht nachvollziehen:
Dann müsste ja [mm] $\frac{x^2}{x^2}$ [/mm] auch gegen Zwei streben? [verwirrt]
Die Konvergenz richtet sich nach dem Koeffizienten der höchsten Potenzen in Zähler und Nenner. Die sind beide Eins, also strebt die Funktion gegen Eins.

> Eine Asymptote läuft parallel zur y-Achse durch [mm]x_p=-0,5[/mm]

Das war deine Nennernullstelle, die stimmt aber nicht!

> und parallel zur x-Achse durch den Grenswert a=2.

Wie gesagt, sie strebt gegen Eins.

> Die Nullstelle [mm]x_0=-1[/mm] und der Pol [mm]x_p=-0,5[/mm] bilden die
> Bereichsgrenze.

Wie gesagt, die Zahlwerte stimmen nicht!

> f(-3)= 0,

Wie, doch noch eine andere Nullstelle? Die stimmt! :-)

> d.h. alle Funktionswerte links
> von -1 sind positiv. f(-0,7)=1,77, demnach sind alle Werte
> im mittleren Bereich positiv. f(1,5)=1,3 also auch alle
> Werte rechts von [mm]x_p=-0,5[/mm] sind positiv.
>  Richtig?

Nein, die Zahlwerte stimmen nicht! Außerdem musst du dir noch Gedanken darüber machen, was genau an der Polstelle (die ist bei $x=-2$) passiert.

Sorry, dass ich hier so viel zu meckern hatte!

MFG,
Yuma

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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Do 15.02.2007
Autor: Chrissi21

Ich habe meinen Fehler eben auch schon bemerkt. Sorry. Also, Nennernullstellen sind [mm] x_0=-2 [/mm] und [mm] x_1=1. [/mm] Zählernullstellen sind [mm] x_2=-3 [/mm] und [mm] x_3=1. [/mm]
Definitionsbereich: Alle reelen Zahlen, ausgenommen Definitionslücke -2/1
Grenzwert:
[mm] \limes_{n \to \infty}f(x)=1. [/mm]
Asymptote: Parallel zur y-Achse [mm] x_p=-2 [/mm] und parallel zur x-Achse durch Grenzwert a=1.
Nährungsverhalten: Nullstelle [mm] x_2=-3 [/mm] und Pol [mm] x_p=-2 [/mm] Bereichsgrenze un dann das, was ich eben auch gemacht habe.
Bei der Polstelle muss ich mich doch von beiden Seiten annähern, oder? Also Praktisch Wertetabelle?

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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Do 15.02.2007
Autor: leduart

Hallo
Alles richtig! (-:
falls du mit Def.luecke -2/1 meinst -2 und 1.
Polstelle: ohne Wertetabelle: Zaehler hat in der Naehe immer das gleiche Vorzeichen (weil keine Nullstelle) Nenner wechselt das VZ, also Pol mit Vorzeichenw.
(Nur wenn der Nenner ne doppelte Nullstelle hat wie etwa [mm] (x-2)^2 [/mm] bei 2 hat man Pole ohne vorzw.
Aber Wertetabelle schad nix.
gruss leduart


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Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:29 Do 15.02.2007
Autor: Chrissi21

Vielen Dank erstmal, ich werde bestimmt gleich noch eine Frage haben

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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Do 15.02.2007
Autor: Chrissi21

Aufgabe
Folgende Grenzwerte berechnen: a) [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{x^2+3x+4}{x^3-5}; [/mm] b) [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{2x^2-5x^6+4}{3x^4+6x6} [/mm] c) [mm] \limes_{n \to \3} \bruch{x^2-x-6}{x^2-2x-3}; [/mm] d) [mm] \limes_{n \to \-3} \bruch{x^2+5x+6}{x^2+2x-3} [/mm]

Also, a) ist meiner Meinung nach =0; b9 ist =  [mm] \bruch{-5}{6}; [/mm] c) und d9 =1, wobei ich bei den beiden nicht genau weis, wie ich vorgehen muss. Bitte helft mir!

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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Do 15.02.2007
Autor: ullim

Hi,

> Folgende Grenzwerte berechnen: a) [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{x^2+3x+4}{x^3-5};[/mm]
> b) [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{2x^2-5x^6+4}{3x^4+6x6}[/mm] c)
> [mm]\limes_{n \to \3} \bruch{x^2-x-6}{x^2-2x-3};[/mm] d) [mm]\limes_{n \to \-3} \bruch{x^2+5x+6}{x^2+2x-3}[/mm]
>  
> Also, a) ist meiner Meinung nach =0;

[ok]

b) ist =  [mm] \bruch{-5}{6} [/mm]

Hier steht wahrscheinlich [mm] x^6 [/mm] im Nenner, dann stimmt auch Dein Ergebniss.

c) und d) =1, wobei ich bei den beiden nicht

> genau weis, wie ich vorgehen muss. Bitte helft mir!

Hier musst Du im Zähler wie im Nenner jeweils [mm] x^2 [/mm] ausklammern, dann sieht man das der Grenzwert jeweils 1 ist.

mfg ullim


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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Do 15.02.2007
Autor: Chrissi21

Ist beiden beiden letzten wirklich der Grenzwert eins, obwohl bei c) lim x gegen 3 und bei d) lim x gegen -3 ist?

Bezug
                                                                
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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Do 15.02.2007
Autor: leduart

Hallo
meist denkt man x gegen [mm] \infty, [/mm] drum ist gut wenn du nachfragst.
im fall c) musst du Z und N in ein Produkt von(x-x1)*(x-x2) zerlegen, x1,x2 die jeweils 2 Nullstellen. In beiden Faellen haben Z und N eine gemeinsame Nst, die kannst du dann rauskuerzen und den GW bilden.
bei c ist GW dann 5/4, d ueberlass ich dir.
Gruss leduart

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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Do 15.02.2007
Autor: Chrissi21

Wenn ich es so auf die Art versuche bekomme ich bei d) erstmal [mm] \bruch{ (x+3)*(x+2)}{(x+3)*(x-1)} [/mm] ja? Also [mm] \bruch{-1}{-4} [/mm] oder?

Bezug
                                                                                
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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Do 15.02.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

die Umformung ist korrekt, in deiner Aufgabe steht aber [mm] x\to3, [/mm] du hast [mm] x\to-3 [/mm] gerechnet,

Steffi

Bezug
                                                                                        
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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Do 15.02.2007
Autor: Chrissi21

Das sollte auch lim  x gegen -3 heißen. Ist das dann richtig?

Bezug
                                                                                                
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Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Do 15.02.2007
Autor: Steffi21

wenn [mm] x\to-3, [/mm] dann ist es korrekt,
Steffi

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Do 15.02.2007
Autor: Chrissi21

Vielen Dank an alle die mir hier geholfen haben. Schönen Abend noch!

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