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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Fr 22.09.2006 | | Autor: | santor |
Hallo,
bei der folgenden Folge soll der Grenzwert bestimmt werden: [mm] (1+1/n)^n [/mm] und n soll gegen Unendlich laufen. Die Lösung ist die eulersche Zahl "e", aber wie kommt man darauf? Man kann hier nix umformen, eine Potenz ausklammern oder sonstwas. Oder gibt es keine Möglichkeit, das so auszurechnen?
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Hi, santor,
> bei der folgenden Folge soll der Grenzwert bestimmt werden:
> [mm](1+1/n)^n[/mm] und n soll gegen Unendlich laufen. Die Lösung ist
> die eulersche Zahl "e", aber wie kommt man darauf? Man kann
> hier nix umformen, eine Potenz ausklammern oder sonstwas.
> Oder gibt es keine Möglichkeit, das so auszurechnen?
"Ausrechnen" oder "bestimmen" kann man den Grenzwert nicht, denn es ist genau umgekehrt:
Die Eulersche Zahl e wird DURCH DIESEN GRENZWERT DEFINIERT!
Was man tun kann ist lediglich, zu beweisen, dass die obige Folge konvergiert, d.h. einen Grenzwert hat und dann mit ihrer Hilfe die Zahl e mit beliebiger Genauigkeit (aber eben niemals ganz exakt, denn e ist irrational!) zu bestimmen (Je größer man n wählt, desto genauer ist das Ergebnis).
Zum Beweis der Existenz schau doch mal z.B. hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-duisburg.de/FB11/LEHRE/BRKURS/BK3.pdf#search=%22Eulersche%20Zahl%20Grenzwert%22
mfG!
Zwerglein
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