Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Do 31.07.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | | [mm] \left[\bruch{x}{\wurzel{x^2+R^2}}\right]^0_\left-\infty\right [/mm] |
Hallo alle zusammen,
ich hab als Ergebnis eines Integrals das raus, was in den eckigen Klammern steht (x ist die Variable, nach der integriert wurde) und muss das Integral jetzt nur noch fertig berechnen. Eigentlich ja ganz einfach, aber hier scheiter ich. Es ist ja "obere Grenze - untere Grenze". Also die OBere Grenze ist 0, denn 0:iwas=0. Aber die untere Grenze bekomm ich nicht hin, was wiegt denn hier am meisten? Es steht ja dann da [mm] -\infty/\wurzel{-\infty^2+R^2}. [/mm] Meiner Meinung nach würde ich den Nenner so berechnen: [mm] (-\infty)^2=\infty, [/mm] das [mm] R^2 [/mm] ist bei so einer großen Zahl vernachlässigbar und dann die Wurzel aus [mm] \infty [/mm] ist wieder [mm] \infty [/mm] und dann hätte ich für den Gesamtbruch [mm] \bruch{-\infty}{\infty}=-1. [/mm] Ich weiß, dass -1 die richtige Lösung ist, bin mir aber einfach nicht sicher, ob meine Vorgehensweise so korrekt ist?
Vielen Dank!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
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> [mm]\left[\bruch{x}{\wurzel{x^2+R^2}}\right]^0_\left-\infty\right[/mm]
> Hallo alle zusammen,
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> ich hab als Ergebnis eines Integrals das raus, was in den
> eckigen Klammern steht (x ist die Variable, nach der
> integriert wurde) und muss das Integral jetzt nur noch
> fertig berechnen. Eigentlich ja ganz einfach, aber hier
> scheiter ich. Es ist ja "obere Grenze - untere Grenze".
> Also die OBere Grenze ist 0, denn 0:iwas=0. Aber die untere
> Grenze bekomm ich nicht hin, was wiegt denn hier am
> meisten? Es steht ja dann da
> [mm]-\infty/\wurzel{-\infty^2+R^2}.[/mm] Meiner Meinung nach würde
> ich den Nenner so berechnen: [mm](-\infty)^2=\infty,[/mm] das [mm]R^2[/mm]
> ist bei so einer großen Zahl vernachlässigbar und dann
> die Wurzel aus [mm]\infty[/mm] ist wieder [mm]\infty[/mm] und dann hätte ich
> für den Gesamtbruch [mm]\bruch{-\infty}{\infty}=-1.[/mm]
Das ist ja grausam und hat mit ernsthafter Mathematik nix zu tun !
> Ich weiß,
> dass -1 die richtige Lösung ist, bin mir aber einfach
> nicht sicher, ob meine Vorgehensweise so korrekt ist?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß Manu
[mm]\left[f(x)\right]^0_\left-\infty\right[/mm] ist eine Abkürzung für
[mm] $f(0)-\limes_{x\rightarrow - \infty}f(x)$
[/mm]
Bei Dir ist [mm] $f(x)=\bruch{x}{\wurzel{x^2+R^2}}$.
[/mm]
Damit musst Du noch berechnen:
[mm] \limes_{x\rightarrow - \infty}\bruch{x}{\wurzel{x^2+R^2}}
[/mm]
Es ist für x<0: [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+R^2}}=-\bruch{1}{\wurzel{1+R^2/x^2}}
[/mm]
(überlege Dir warum !)
Es folgt: [mm] $\limes_{x\rightarrow - \infty}\bruch{x}{\wurzel{x^2+R^2}}=-1$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 31.07.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Ok, also den Term unter der Wurzel hast du umgeformt, indem du ihn durch [mm] x^2 [/mm] geteilt hast. Aber wie hast du es geschafft, aus dem x im Zähler eine -1 zu machen?
Wenn ich das dann soweit umgestellt habe, ist das mit dem Grenzwert ja auch kein Problem mehr (ich hoffe, meine folgende Beschreibung ist wenigstens etwas mathematisch korrekter): [mm] R^2/x^2 [/mm] wird immer kleiner, wenn x gegen [mm] -\infty [/mm] geht und dann steht im Nenner sozusagen nur noch [mm] \wurzel{1}, [/mm] das ist ja 1 und [mm] -\bruch{1}{1} [/mm] =-1.
Gruß Manu
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Hallo,
> Ok, also den Term unter der Wurzel hast du umgeformt, indem
> du ihn durch [mm]x^2[/mm] geteilt hast. Aber wie hast du es
> geschafft, aus dem x im Zähler eine -1 zu machen?
Er hat [mm]x^2[/mm] unter der Wurzel ausgeklammert:
[mm]=\sqrt{x^2\cdot{}\left[1+\frac{R^2}{x^2}\right]}[/mm]
Dann gem. [mm]\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt a\cdot{}\sqrt b[/mm] herausgezogen
[mm]=\sqrt{x^2}\cdot{}\sqrt{1+\frac{R^2}{x^2}}[/mm]
[mm]=|x|\cdot{}\sqrt{1+\frac{R^2}{x^2}}[/mm]
[mm]=-x\cdot{}\sqrt{1+\frac{R^2}{x^2}}[/mm], weil wir wegen [mm]x\to -\infty[/mm] doch annehmen können, dass [mm]x<0[/mm] ist ..
Nun die x in Zähler und Nenner kürzen und dann [mm]x\to -\infty[/mm] laufen lassen ...
> Wenn ich das dann soweit umgestellt habe, ist das mit dem
> Grenzwert ja auch kein Problem mehr (ich hoffe, meine
> folgende Beschreibung ist wenigstens etwas mathematisch
> korrekter): [mm]R^2/x^2[/mm] wird immer kleiner, wenn x gegen
> [mm]-\infty[/mm] geht und dann steht im Nenner sozusagen nur noch
> [mm]\wurzel{1},[/mm]
Ja, [mm]\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{R^2}{x^2}=0[/mm]
> das ist ja 1 und [mm]-\bruch{1}{1}[/mm] =-1.
>
> Gruß Manu
Jo!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Do 31.07.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Alles klar, vielen Dank!
Ich meinte ausklammern, hab das nur iwie total falsch beschrieben, weil ich schon über was anderes nachgedacht hab, also vielen Dank für die komplette Erklärung, dass hat mir sehr weitergeholfen, auch für meine zukünftigen Grenzwertbetrachtungen (;
Gruß Manu
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