Grenzwert-Spezialfälle < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:34 Di 26.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo,
hab mal schnell ne allgemeine Fragen zu Spezialfällen von Grenzwerten:
Und zwar weiß ich, dass man alle Grenzwerte, bei denen man durch einsetzen auf die Form [mm] \bruch{"0"}{"0"} [/mm] oder [mm] \bruch{\pm \infty}{\pm \infty} [/mm] kommt, mit l'Hospital lösen kann. Außerdem gibt es 5 weitere Spezialfälle, die man mit verschiedenen Tricks lösen kann:
nämlich: [mm] "\infty [/mm] - [mm] \infty", "0*\infty", "0^0", "\infty^0" [/mm] und [mm] "1^\infty" [/mm] (wobei man bei den drei letzten den gleichen Trick anwenden kann).
Und die beiden Formen [mm] "0"^"\infty" [/mm] und [mm] "\bruch{"0"}{\infty} [/mm] ergeben beide (logischerweise) Null.
Außerdem existiert kein Grenzwert von einem Bruch, bei dem der NENNER gegen 0 geht (logisch). Gibt es außer dem noch andere Fälle, in denen der Grenzwert gar nicht definiert ist / nicht existiert, auch wenn sich die Funktion/Folge aus Komponenten zusammensetzt, von denen jede einzelne für Unendlich definiert ist? Oder ist das wirklich NUR für "durch "0""?
Wie es das aber, wenn bei einer zusammengesetzten Funktion (bzw.Folge) ein Teil der Funktion für Unendlich nicht definiert ist, ist dann der Grenzwert insgesamt auch auf keinen Fall definiert? Oder kann (bzw. darf) man da mit l'Hospital oder mit irgendeiner anderen Regel / einem Trick irgendwas machen?
Mein Beispiel wäre ein Bruch, bei dem der Zähler für Unendlich nicht definiert ist, der Nenner aber schon. Kann man den Grenzwert dann berechnen oder nicht?
lG
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> Hallo,
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> hab mal schnell ne allgemeine Fragen zu Spezialfällen von
> Grenzwerten:
Hallo,
ich finde diese schnelle, allgemeine Frage sehr mühsam.
Ich denke, daß die Klärung an Beispielen sinniger wäre.
Von mir nur kurz hierzu:
>
> Und zwar weiß ich, dass man alle Grenzwerte, bei denen man
> durch einsetzen auf die Form [mm]\bruch{"0"}{"0"}[/mm] oder
> [mm]\bruch{\pm \infty}{\pm \infty}[/mm] kommt, mit l'Hospital lösen
> kann.
Das stimmt nicht. Man kann es in diesen Fällen versuchen, aber eine Erfolgsgarantie gibt es beim l'Hospital nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:58 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Danke für den Hinweis wegen l'Hospital.
Ok, dann eine konkrete Aufgabe: nehmen wir an, man soll den Limes [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sin(x)}{x} [/mm] berechnen. Das würde ja (zunächst) [mm] \bruch{n.d.}{\infty} [/mm] ergeben. Also ist der Bruch nicht definiert?
Wenn ich daraus jetzt beispielsweise l'Hospital anwenden würde, käme ich nachtürlich nicht weiter, weil [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] cos(x) ja genausowenig definiert ist. So, da die Sinusfunktion für Unendlich ja aber beschränkt (und durchaus definiert!) ist, und der Nenner gegen Unendlich geht, könnte man jetzt auch denken, dass der Bruch insgesamt doch gegen 0 geht?
Oder ein anderes Beispiel, wenn ich [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}\bruch{ln(x)}{x} [/mm] habe, ist das dann nicht definiert oder Null? Aber hier tippe ich sehr stark auf Nicht definiert.
Und noch ein Beispiel wenn x unter ner Wurzel steht und gegen etwas Negatives konvergiert, dann ist das ja auch nicht definiert. Mit mehrfaches Ableiten (l'Hospital) würde ich das ja auch nicht wegkriegen, aber geht das vllt. iwie anders?
Danke schonmal
lG
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Hiho,
> Ok, dann eine konkrete Aufgabe: nehmen wir an, man soll den
> Limes [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sin(x)}{x}[/mm]
> berechnen. Das würde ja (zunächst) [mm]\bruch{n.d.}{\infty}[/mm] ergeben.
Naja, das "zunächst" ist falsch.
Es stimmt aber erstmal, dass der Einzelgrenzwert [mm] \lim_{x\to\infty}\sin(x) [/mm] nicht existiert.
> Also ist der Bruch nicht definiert?
Doch, der Bruch ist sehr wohl für jedes [mm] $x\in\IR$ [/mm] definiert.
> Wenn ich daraus jetzt beispielsweise l'Hospital anwenden
> würde, käme ich nachtürlich nicht weiter,
Du kannst l'Hospital nicht anwenden, weil die Voraussetzungen nicht erfüllt sind.
> So, da die Sinusfunktion für Unendlich ja
> aber beschränkt (und durchaus definiert!) ist, und der
> Nenner gegen Unendlich geht, könnte man jetzt auch denken,
> dass der Bruch insgesamt doch gegen 0 geht?
Man könnte es nicht nur denken, sondern es ist sogar so.
Du hast erfolgreich das Prinzip angewand, eine konvergente Majorante zu finden.
> Oder ein anderes Beispiel, wenn ich [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}\bruch{ln(x)}{x}[/mm]
> habe, ist das dann nicht definiert oder Null? Aber hier
> tippe ich sehr stark auf Nicht definiert.
Nunja, der Grenzwert existiert nicht, weil eine solche Aufgabenstellung sinnlos ist und daher nie auftreten wird (ausser in deiner Fantasie).
Denn: Funktionen müssen natürlich in einer Umgebung um die zu untersuchende Stelle fast immer definiert sein und das ist hier nicht der Fall, daher macht das was da oben steht keinen Sinn.
> Und noch ein Beispiel wenn x unter ner Wurzel steht und
> gegen etwas Negatives konvergiert, dann ist das ja auch
> nicht definiert.
gleiche Argumentation wie eben.
> Mit mehrfaches Ableiten (l'Hospital)
> würde ich das ja auch nicht wegkriegen, aber geht das
> vllt. iwie anders?
Nein.
Da muss man sich darüber klar werden, was die formelle Definition von [mm] $\lim_{x\to x_0}f(x)$ [/mm] ist. Das hattet ihr bestimmt auch 
Mehr geht da nicht und macht auch (wie du merkst) keinen Sinn...
MFG,
Gono.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 11:08 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
okay, also kommt es (einfach "nur") auf die Definitheit der Funktion am entsprechenden Wert, gegen den das x geht, an? D.h. wenn die (bzw. alle) Teile der Funktion, deren Grenzwert an der jeweiligen Stelle nicht existiert, dort (und in einer Umgebung davon) aber sehr wohl definiert sind (weil sie dann ja dort beschränkt sein MÜSSSEN, oder?), dann ist die Funktion dort definiert?
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> okay, also kommt es (einfach "nur") auf die Definitheit der
> Funktion am entsprechenden Wert, gegen den das x geht, an?
> D.h. wenn die (bzw. alle) Teile der Funktion, deren
> Grenzwert an der jeweiligen Stelle nicht existiert, dort
> (und in einer Umgebung davon) aber sehr wohl definiert sind
> (weil sie dann ja dort beschränkt sein MÜSSSEN, oder?),
> dann ist die Funktion dort definiert?
Hallo,
tut mir leid, ich kann dem, was Du schreibst, überhaupt nicht folgen.
Ich habe es jetzt viermal gelesen, und das einzige, was passiert: mir schwindelt.
Vielleicht zeigst Du mal an einer Beispielfunktion, worüber Du gerade sprechen möchtest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Naja, ich habe einfach nur das Beispiel von vorhin mit dem [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sin(x)}{x} [/mm] = 0 verallgemeinert hingeschrieben...
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> okay, also kommt es (einfach "nur") auf die Definitheit der
> Funktion am entsprechenden Wert, gegen den das x geht, an?
> D.h. wenn die (bzw. alle) Teile der Funktion, deren
> Grenzwert an der jeweiligen Stelle nicht existiert, dort
> (und in einer Umgebung davon) aber sehr wohl definiert sind
> (weil sie dann ja dort beschränkt sein MÜSSSEN, oder?),
> dann ist die Funktion dort definiert?
Hallo,
auf diese, wie Du später schreibst "Verallgemeinerung" kann man nicht sinnvoll antworten.
Man kann Dir hier keinen Persilschein oder ein Kochrezept ausstellen, gültig für alle denkbaren Funktionen der Bauart, von der nur Du wirklich weißt, wie sie aussehen.
Ich spreche aber mit Dir in diesem Zusammenhang gerne über die unten von Dir angesprochene Funktion [mm] f(x)=\bruch{sin(x)}{x}, [/mm] für deren Grenzwert für [mm] x\to \infty [/mm] Du Dich interessierst. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\}
[/mm]
> okay, also kommt es (einfach "nur") auf die Definitheit der
> Funktion am entsprechenden Wert, gegen den das x geht, an?
Was meinst Du mit Definitheit? Definiertheit?
Für [mm] \infty [/mm] sind Zähler und Nenner beide nicht definiert. Es sind ja reelle Funktionen, und [mm] \infty [/mm] ist keine reelle Zahl.
Trozdem können wir den Grenzwert anschauen.
Weil die sin-Funktion beschränkt ist, ist der Grenzwert von f(x) nach dem "Sandwichtheorem" =0. Die Beschränktheit des Sinus ist hierfür wichtig.
Gruß v. Angela
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