Grenzfunktionen unendl. Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 So 08.01.2006 | | Autor: | jippie |
| Aufgabe | Beweisen sie dass die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{ x^{2n}}{(1+ x^{2})^{n-1}}
[/mm]
fuer jedes x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert.
Bestimmen sie die Grenzfunktion |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich hab die Konvergenz fuer alle x mit dem Quotientenkriterium bewiesen.
Jetzt habe ich leider keine Ahnung wie ich die Grenzfunktion finden soll??
Hat jemand vielleicht einen Ansatz oder einen Loesungsvorschlag???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Beweisen sie dass die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{ x^{2n}}{(1+ x^{2})^{n-1}}[/mm]
>
> fuer jedes x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert.
> Bestimmen sie die Grenzfunktion
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Ich hab die Konvergenz fuer alle x mit dem
> Quotientenkriterium bewiesen.
Das glaube ich nicht ganz  Wenn $x = 0$ ist kannst du das Quotientenkriterium nicht anwenden, aber in dem Fall ist die Konvergenz eh klar... ;)
> Jetzt habe ich leider keine Ahnung wie ich die
> Grenzfunktion finden soll??
Nun, das geht ueber einen Trick. Und zwar teilst du die Funktion durch $1 + [mm] x^2$. [/mm] Dann hast du naemlich [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{(x^2)^n}{(1 + x^2)^n} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{x^2}{1 + x^2} \right)^n$. [/mm] Hilft dir das weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 08.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo Felix,
kannst du mir deinen letzten schritt bitte mal erklären,
ich verstehe leider überhaupt nicht wie du das
gemacht hast?!
ach ja, die summe fängt bei n = 1.
vielen dank schon mal,
kuminitu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo kuminitu,
ich hatte mich vertippt, es sollte hoch $n$ und nicht hoch $2$ sein... Kannst du es jetzt nachvollziehen? (Sind nur Potenzgesetze angewendet.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 08.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
nach deinem Weg komme ich auf folgendes Ergebnis:
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{(x^2)^n}{(1 + x^2)^n*(1+x^2)^-1}
[/mm]
= [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{(x^2)^n*(1+x^2)}{(1 + x^2)^n}
[/mm]
= [mm] 1+x^2 [/mm] * [mm] \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{x^2}{1 + x^2} \right)^n.
[/mm]
Aber das divergiert doch??????!!!!
oder habe ich etwas falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 08.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sascha!
Zunächst einmal hast Du ein paar Klammern unterschlagen:
$... \ = \ [mm] \red{\left(}1+x^2\red{\right)}*\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{x^2}{1 + x^2} \right)^n$
[/mm]
Diese Reihe sollte Dich an die geometrische Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}q^n$ [/mm] erinnern.
Für welche Werte von $q_$ konvergiert denn die geometrische Reihe? Ist diese Bedingung hier eingehalten für $q \ := \ [mm] \bruch{x^2}{1+x^2}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 So 08.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
also, die geometrische [mm] q^{n} [/mm] konvergiert für -1<q<1, und ich
glaube das glit auch für $ q \ := \ [mm] \bruch{x^2}{1+x^2} [/mm] $,
jedoch weiss ich nicht genau wie die Grenzfunktion
hier rechnerrisch bestimmen kann,
aber strebt die nicht gegen null??
mfg
kuminitu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo,
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> also, die geometrische [mm]q^{n}[/mm] konvergiert für -1<q<1,
Genau.
(Du meinst [mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n$ [/mm] und nicht nur [mm] $q^n$, [/mm] oder?)
> und
> ich
> glaube das glit auch für [mm]q \ := \ \bruch{x^2}{1+x^2} [/mm],
Du glaubst? Also [mm] $\frac{x^2}{1 + x^2} \ge [/mm] 0$ ist ja klar. Und [mm] $\frac{x^2}{1 + x^2} [/mm] < 1 [mm] \Leftrightarrow x^2 [/mm] < 1 + [mm] x^2$ [/mm] ist auch wahr.
> jedoch weiss ich nicht genau wie die Grenzfunktion
> hier rechnerrisch bestimmen kann,
> aber strebt die nicht gegen null??
Warum sollte sie gegen $0$ gehen?
Kennst du den Grenzwert der geometrischen Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n$? [/mm] Benutze die Formel doch mal.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Di 10.01.2006 | | Autor: | tsy |
Zuvor wurde der Term (1+ [mm] x^{2}) [/mm] abgespalten.
Ist dieser Schritt zulässig und hat keinen Einfluss auf die Grenzfunktion?
Ohne Berücksichtigung hieße die Grenzfunktion dann (1+ [mm] x^{2})^{2}, [/mm] oder?
Vielen Dank,
tsy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Doch, natürlich muss der abgespaltene Term auch berücksichtigt werden. Die endgültige Grenzfunktion lautet damit
$f(x) = [mm] (1+x^2) \cdot \left[ \frac{1}{1 - \frac{x^2}{1+x^2}} - 1 \right] [/mm] = [mm] (1+x^2) \cdot \frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{1 - \frac{x^2}{1+x^2}} [/mm] = [mm] (1+x^2) \cdot \frac{x^2}{1+x^2-x^2} [/mm] = [mm] (1+x^2) \cdot x^2$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 10.01.2006 | | Autor: | tsy |
Danke erst mal für die schnelle Antwort :)
Aber jetzt noch mal für die Langsamen unter uns *auf mich zeig* ;)
Meines Wissens gilt für eine geometrische Folge die Formel:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} q^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 - q}
[/mm]
Wie kommt man jetzt auf den Term
[mm] (\bruch{1}{1 - q} [/mm] -1) ?
(Also ich verstehe nicht, wo die -1 herkommt)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Meines Wissens gilt
[mm] $\sum\limits_{n=\red{0}}^{\infty} q^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}$,
[/mm]
und den $0$-ten Summanden müssen wir dann abziehen, wenn wir bei $1$ starten und diese Formel verwenden...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Di 10.01.2006 | | Autor: | tsy |
Okay :) *übersehen hab*
Vielen, vielen Dank, hatte ich übersehen.
Bis zum nächsten Problem ;),
tsy
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