Grenzen bei Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Fr 11.10.2013 | | Autor: | phychem |
Hallo
Ich integrieren
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x(1-x)}} dx}
[/mm]
mittels Substitution. Euler-Substitution scheint sinnvoll:
[mm] xt=\wurzel{x(1-x)}
[/mm]
Ich erhalten für die Stammfunktion:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x(1-x)}} dx} [/mm] = -2*arctan(t) + c
Problem: Die Anpassung der Intervalgrenzen. die obere Grenze 1 wird ja zu 0, aber die untere Intervallgrenze scheint gar nicht mehr definiert/bestimmbar mit dieser Substitution (das Ding is ja, dass ich [mm] xt=\wurzel{x(1-x)} [/mm] gar nicht nach t umformen kann..).
Wie geht man mit einer solchen SItuation um?
Das Resultat sollte laut mathematica übrigens [mm] \pi [/mm] sein...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Fr 11.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo
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> Ich integrieren
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> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x(1-x)}} dx}[/mm]
>
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> mittels Substitution. Euler-Substitution scheint sinnvoll:
>
> [mm]xt=\wurzel{x(1-x)}[/mm]
Hallo,
probiere mal [mm] $x=sin^2(t)$.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Ich erhalten für die Stammfunktion:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x(1-x)}} dx}[/mm] =
> -2*arctan(t) + c
>
> Problem: Die Anpassung der Intervalgrenzen. die obere
> Grenze 1 wird ja zu 0, aber die untere Intervallgrenze
> scheint gar nicht mehr definiert/bestimmbar mit dieser
> Substitution (das Ding is ja, dass ich [mm]xt=\wurzel{x(1-x)}[/mm]
> gar nicht nach t umformen kann..).
> Wie geht man mit einer solchen SItuation um?
>
> Das Resultat sollte laut mathematica übrigens [mm]\pi[/mm] sein...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Fr 11.10.2013 | | Autor: | phychem |
Ich verstehe ehrlich gesagt, nicht ganz, wie mir das helfen soll:
Unter der Wurzel hab ich dann ja
[mm] cos^{2}(t)-cos^{4}(x)
[/mm]
bzw. umgeschrieben:
(1/8) (1-cos(4t))
Welche trigonometrische Beziehung entgeht mir hier?
Ausserdem würd ich gerne wissen, warum meine Idee hier nicht zum Ziel führt. Ich meine, die gefundene Stammfunktion scheint ja zu stimmen...
Ist die euelerische Substitution nicht geeignet bei bestimmten Integralen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Fr 11.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich verstehe ehrlich gesagt, nicht ganz, wie mir das helfen
> soll:
>
> Unter der Wurzel hab ich dann ja
>
> [mm]cos^{2}(t)-cos^{4}(x)[/mm]
Hallo,
die Klammer wird zu [mm]1-cos^2(t)=sin^2(t)[/mm] und der gesamte Nenner damit zu [mm]|sin(t)*cos(t)|[/mm].
Gruß Abakus
>
> bzw. umgeschrieben:
>
> (1/8) (1-cos(4t))
>
>
> Welche trigonometrische Beziehung entgeht mir hier?
>
>
> Ausserdem würd ich gerne wissen, warum meine Idee hier
> nicht zum Ziel führt. Ich meine, die gefundene
> Stammfunktion scheint ja zu stimmen...
> Ist die euelerische Substitution nicht geeignet bei
> bestimmten Integralen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Ich integrieren
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x(1-x)}} dx}[/mm]
>
>
> mittels Substitution. Euler-Substitution scheint sinnvoll:
>
> [mm]xt=\wurzel{x(1-x)}[/mm]
>
> Ich erhalten für die Stammfunktion:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x(1-x)}} dx}[/mm] =
> -2*arctan(t) + c
Bis hierher ist es richtig.
>
> Problem: Die Anpassung der Intervalgrenzen. die obere
> Grenze 1 wird ja zu 0, aber die untere Intervallgrenze
> scheint gar nicht mehr definiert/bestimmbar mit dieser
> Substitution (das Ding is ja, dass ich [mm]xt=\wurzel{x(1-x)}[/mm]
> gar nicht nach t umformen kann..).
> Wie geht man mit einer solchen SItuation um?
bei [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x(1-x)}} dx}[/mm]
handelt es sich um ein uneigentliches Integral !
Berechne zunächst für 0<a<b<1
[mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel{x(1-x)}} dx}[/mm]
und lasse dann a gegen 0 und b gegen 1 gehen.
FRED
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> Das Resultat sollte laut mathematica übrigens [mm]\pi[/mm] sein...
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