Greenfkt < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Do 06.11.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
hab noch eine frage
also hab eine dgl. will nicht die lösung haben, aber nur dir vorgehensweise wissen für:
[mm] \bruch{d}{dx}G_1(x,x') [/mm] = [mm] -4*\pi*\delta(x-x')
[/mm]
bzw.
[mm] \bruch{d^2}{dx^2}G_2(x,x') [/mm] = [mm] -4*\pi*\delta(x-x')
[/mm]
also mh ja G ist ja sowas wie die Greensche Funktion
aber für sone art dgl weiß ich nicht was ich machen soll...
kann mir jmd ein tip geben?
danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 Sa 08.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi
> hab noch eine frage
> also hab eine dgl. will nicht die lösung haben, aber nur
> dir vorgehensweise wissen für:
>
> [mm]\bruch{d}{dx}G_1(x,x')[/mm] = [mm]-4*\pi*\delta(x-x')[/mm]
> bzw.
> [mm]\bruch{d^2}{dx^2}G_2(x,x')[/mm] = [mm]-4*\pi*\delta(x-x')[/mm]
>
> also mh ja G ist ja sowas wie die Greensche Funktion
> aber für sone art dgl weiß ich nicht was ich machen
> soll...
So ist das Problem nicht vollständig, weil du für die Bestimmung der Greenschen Funktion die Randbedingungen oder Anfangsbedingungen brauchst.
Zur Bestimmung der Greenschen Funktion musst du die DGL lösen.
Du kannst zunächst die DGL für die beiden Fälle $x>x'$ und $x<x'$ lösen, das ergibt für [mm] $G_1$:
[/mm]
[mm] G_1 = \begin{cases} c_1 & x>x' \\ c_2 & x
Wenn du die definierende Gleichung [mm]\bruch{d}{dx}G_1(x,x')=4*\pi*\delta(x-x')[/mm] von [mm] $x'-\varepsilon$ [/mm] bis $x'+varepsilon$ über x integrierst, ergibt sich:
[mm] G_1(x'+\varepsilon,x') - G_1(x'-\varepsilon,x') = -4\pi \gdw c_1 -c_2 = -4\pi [/mm]
Eine Anfangsbedingung wie [mm] $y(0)=y_0$ [/mm] liefert dann [mm] $G_1(0,x')=y_0$ [/mm] für $x'>0$ (da $x=0$ der Anfangspunkt ist) und damit [mm] $c_2=y_0$ [/mm] und [mm] $c_1 [/mm] = [mm] y_0-4\pi$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 So 09.11.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
das klingt ganz gut; habs jetzt auch so gemacht.
aber mir ist dann eingefallen dass es ja auch so eine Art stammfunktion von der Deltafkt gibt. die Heavyside Fkt H:
[mm] H'(x-x')=\delta(x-x')
[/mm]
mit
H(x-x') [mm] =\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < x' \\ 1/2 , & \mbox{für } x=x' \\ 1 , & \mbox{für } x>x' \end{cases}
[/mm]
Kann ich das nicht auch einfach benutzen?
und wie siehts für die zweite dgl aus?
kann ich da einfach [mm] G_{2} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}G_{1} [/mm] machen?
Okay vielen dank für weitere hilfe ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mo 10.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi
> das klingt ganz gut; habs jetzt auch so gemacht.
> aber mir ist dann eingefallen dass es ja auch so eine Art
> stammfunktion von der Deltafkt gibt. die Heavyside Fkt H:
>
> [mm]H'(x-x')=\delta(x-x')[/mm]
> mit
> H(x-x') [mm]=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < x' \\ 1/2 , & \mbox{für } x=x' \\ 1 , & \mbox{für } x>x' \end{cases}[/mm]
>
> Kann ich das nicht auch einfach benutzen?
Ja, das kannst du; nichts Anderes kommt ja bei der herkömmlichen Betrachtung heraus. Beachte, dass der Wert $1/2$ fur $x=x'$ willkürlich ist, du kannst genausogut 0 oder 1 wählen.
> und wie siehts für die zweite dgl aus?
> kann ich da einfach [mm]G_{2}[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx}G_{1}[/mm] machen?
Nein, denn rechts steht [mm] $\delta(x-x')$, [/mm] nicht [mm] $\delta'(x-x')$.
[/mm]
Aber du kannst [mm] $G_1= \bruch{d}{dx}G_{2}$ [/mm] ansetzen und einmal integrieren.
Viele Grüße
Rainer
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