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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Di 10.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
| Aufgabe | Welche Größe besträgt die Fläche zwischen den Graphen und der Normalen im Wendepunkt von f?
f(x)=-x³+x |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle..
So habe bereits angefangen, doch irgendwie stecken geblieben...vllt. kann mir jmd. helfen?
Wendepunkt(e) berechnen:
f´(x)= [mm] -3x^2+1
[/mm]
f´´(x)= -6x
-6x= 0
x=0...
und nun...wie musss ich hier weiterrechen,...und sind bis hier felher enthalten?...
Danke..
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Hallo Toyah21,
du hast bisher alles richtig gemacht, denn zunächst muss der Wendepunkt bestimmt werden. Er ist (0,0), so wie du das auch ausgerechnet hast. Nun musst du die Normale im Wendepunkt bestimmt. Dazu ist es nötig, erst einmal die Tangente an die Funktion im Wendepunkt zu bestimmen. Die Normale ist dann diejenige Gerade, die senkrecht zur Tangente steht (und ebenfalls durch den Wendepunkt geht). Wenn du bei der Rechnung nicht weiterkommst, helf ich dir gern, aber du kannst es ja auch erstmal selbst versuchen.
Mit freundlichen Grüßen,
Manuela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Di 10.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
Hallo, danke für deine nette hilfe...hab mir gedanken gemacht und habe mir überlegt, dass
f(0)=0
f´(0)=1 (macht man das nicht so für die steigung?mmh..=
naja dann dachte ich:
g:y= h*x+v
h=1..mhm..
das scheint irgendwie komisch zu sein..kann mir da doch jmd. vllt helfen?
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Hi, Toyah,
> f(0)=0
> f´(0)=1 (macht man das nicht so für die steigung? mmh..=
Richtig! Demnach hat die Tangente in W(0;0) die Steigung m=1;
es handelt sich um die Winkelhabierende des I. und III. Quadranten:
y = x.
Und welche Gleichung hat die Gerade, die im selben Punkt W(0;0) auf dieser senkrecht steht? (Kannst es sogar zeichnerisch leicht rauskriegen!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 10.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
Ich würde aufgrund der parallelität -1 sagen also_
g:y=-1*x+?---o mann ..irgendwie seht komplliziert...sorry, aber ich glaub das is zu hoch für mich*verwzweifel...*
danke trotzdem..
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Hi, Toyah,
> Ich würde aufgrund der parallelität -1 sagen also_
> g:y=-1*x+?---o mann ..irgendwie seht komplliziert...sorry,
> aber ich glaub das is zu hoch für mich*verwzweifel...*
Nix verzweifel!
y = -x ist ja richtig!
(+? brauchst Du hier nicht, weil diese Gerade - genau wie die Tangente - durch den Nullpunkt geht: Der Wendepunkt W(0;0) liegt im Nullpunkt!)
Weitermachen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Di 10.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
also,,,ich versuchs...
würde das jetzt gleichsetzen:
[mm] -x^3+x=-X
[/mm]
[mm] X^3-2x=0
[/mm]
[mm] x(x^2-2)=0
[/mm]
x1=0 x2/3= +/- [mm] \wurzel{2}---
[/mm]
....?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Di 10.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> also,,,ich versuchs...
>
> würde das jetzt gleichsetzen:
>
> [mm]-x^3+x=-X[/mm]
> [mm]X^3-2x=0[/mm]
> [mm]x(x^2-2)=0[/mm]
>
>
> x1=0 x2/3= +/- [mm]\wurzel{2}---[/mm]
>
> ....?
Fast.
Das Gleichsetzen ist korrekt.
Also
-x³+x=-x
[mm] \gdw -x³\red{+}2x=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x(-x²+2)=0
[mm] \Rightarrow x_{0_{1}}=0
[/mm]
Bleibt noch -x²+2=0 [mm] \gdw [/mm] x²=2
[mm] \Rightarrow x_{0_{2}}=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{0_{2}}=-\wurzel{2}
[/mm]
Jetzt hast du die Schnittstellen und kannst dein Integral berechnen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Di 10.10.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, M.Rex,
> > [mm]X^3-2x=0[/mm]
> > [mm]x(x^2-2)=0[/mm]
> >
> >
> > x1=0 x2/3= +/- [mm]\wurzel{2}---[/mm]
> Fast.
>
> Das Gleichsetzen ist korrekt.
> Also
> -x³+x=-x
> [mm]\gdw -x³\red{+}2x=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x(-x²+2)=0
Das ist doch dasselbe wie bei Toyah!
Er/sie hat das Ganze nur mit -1 durchmultipliziert!
mfG!
Zwerglein
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Hi, Toyah,
Alles richtig!
Und nun würd' ich mir die Situation mal skizzieren.
Dann erkennst Du, dass die gesucht Fläche aus 2 gleich großen Stücken besteht, eines links und eines rechts vom Wendepunkt.
Es reicht daher, wenn Du eines davon berechnest (z.B. das rechte) und das Ergebnis verdoppelst.
Die Integrationsgrenzen für das rechte Stück sind 0 und [mm] \wurzel{2},
[/mm]
die zu integrierende Funktion ist die Differenz von f(x) und der Normalen.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
ich bin komplett verwirrt...wie lauten denn jetzt gnegau die funktionen? von
normaler:
tangente:
und der funktion=?-...
sry, ich bin echt ganz verunsichert..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
ich habe vergessen zu schreiben, dass ich das brauche um mir die skizze anzufertigen...
tschuldigung
ein Moderator hat die Frage mal als beantwortet markiert. 
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:22 Mi 11.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
f(x)=-x³+x
t(x)=x
n(x)=-x
Und das ganze sieht dann so aus, wenn du es mit Funkyplot zeichnest
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
Danke für die Hilfe...!
Ich hab das jetzt verscuht auszurechnen und komme auf 6 1/2----
ist das richtig=?..
[mm] \integral_{-\wurzel{2}}^{\wurzel{2}}{f(x) dx}?...
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 11.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Nicht ganz:
Du suchst die Fläche zwischen n(x)=-x und f(x)
Leider schneiden sich die beiden Graphen in dem Intervall [mm] [-\wurzel{2};\wurzel{2}] [/mm] noch einmal, nämlich bei 0
Deshalb musst du die Fläche wie folgt berechnen
[mm] A=\underbrace{\integral_{-\wurzel{2}}^{0}{n(x)-f(x) dx}}_{hier ist n(x)>f(x)}+\underbrace{\integral_{0}^{\wurzel{2}}{f(x)-n(x) dx}}_{hier ist n(x)
[mm] =\integral_{-\wurzel{2}}^{0}{-x-(-x³+x) dx}+\integral_{0}^{\wurzel{2}}{-x³-x-(-x) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{-\wurzel{2}}^{0}{x³-2x dx}+\integral_{0}^{\wurzel{2}}{-x³ dx}
[/mm]
[mm] =[\bruch{1}{4}x^{4}-x²]_{-\wurzel{2}}^{0}+[-\bruch{1}{4}x^{4}]_{0}^{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] =([\bruch{1}{4}0^{4}-0²]-[\bruch{1}{4}(-\wurzel{2})^{4}-(-\wurzel{2})²])-([-\bruch{1}{4}(\wurzel{2})^{4}]-[-\bruch{1}{4}0^{4}])
[/mm]
[mm] =([0]-[\bruch{4}{4}-2])-([-\bruch{4}{4}]-[0])
[/mm]
=1-(-1)
=2
Wenn ich mich nicht irendwo total verrechnet habe
Marius
P.S.:Mein bild passt nicht ganz, ich habe dort versehentlich [mm] f(x)=-x³+x\red{²} [/mm] eingezeichnet.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
Vielen vielen Dank für deine Mühen..konnte alles sehr gut nachvollziehen, aber das minus verstehe ich nicht, da die beiden flächen doch zusammen + genommen werden müsssen oder?
$ [mm] =([\bruch{1}{4}0^{4}-0²]-[\bruch{1}{4}(-\wurzel{2})^{4}-(-\wurzel{2})²])-([-\bruch{1}{4}(\wurzel{2})^{4}]-[-\bruch{1}{4}0^{4}]) [/mm] $
$ [mm] =([0]-[\bruch{4}{4}-2])-????([-\bruch{4}{4}]-[0]) [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mi 11.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Korrekt, sorry, mein Fehler
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Toyah21 |
also wäre das ergebnis ja 0...macht das sinn? is dort keine fläche`?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 11.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Es kommt hier tatsächlich Nullheraus.Das liegt an der Fläche und an der Symmetrie des Graphen. Die Fläche Links von der Null ist genauso gross wie die Rechts von der Null.
Um das zu umgehen, schreibt man oft noch Betragsstriche um den Teil der Fläche,die unter der x-Achse liegt.
Also hier
[mm] \integral_{-\wurzel{2}}^{0}{-x-(-x³+x) dx}+\red{|}\integral_{0}^{\wurzel{2}}{-x³-x-(-x) dx}\red{|}
[/mm]
=...
[mm] =1+\red{|}(-1)\red{|}
[/mm]
=1+1
=2
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, M.Rex,
das ist aber NICHT Dein Ernst!
Der von Dir gezeichnete (rote) Graph ist nie und nimmer der Graph von
f(x) = [mm] -x^{3} [/mm] + x!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Mi 11.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Ich hab mich ja auch schon entschuldigt. Sorry
Ich habe ein ² eingesterut, was dort nicht hin gehört.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Do 12.10.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, M.Rex,
dann bessere doch Deine obige Antwort einfach aus und zeichne das Bild neu!
mfG!
Zwerglein
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