Graph implizite Gleichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 So 08.03.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Graph der impliziten Gleichung
[mm] \sin\left(\bruch{2}{e^{(x^2+y^2)}}\right)=1 [/mm] |
Also ich habe da folgende Ideen aber ohne Rechner kriege ich trotzdem keinen Graph hin...
Also einmal
[mm] \sin\left(\bruch{2}{e^{(x^2+y^2)}}\right)=1
[/mm]
[mm] \gdw \sin\left(\bruch{2}{e^{r^2}}\right)=1
[/mm]
[mm] \gdw \left(\bruch{2}{e^{(x^2+y^2)}}\right)=\arcsin(1)+k*2*\pi
[/mm]
[mm] \vee \left(\bruch{2}{e^{(x^2+y^2)}}\right)=\pi-\arcsin(1)+k*2*\pi
[/mm]
[mm] \gdw \left(\bruch{2}{e^{(x^2+y^2)}}\right)=\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}=e^{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] \gdw ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)=x^2+y^2
[/mm]
[mm] \gdw y=\pm\sqrt{ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)-x^2}
[/mm]
oder:
...
[mm] \gdw ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)=x^2+y^2
[/mm]
[mm] \gdw ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)=r^2
[/mm]
[mm] \gdw r=\sqrt{ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)}
[/mm]
Also muss k [mm] \ge [/mm] 0 sein, da sonst der ln(...) nicht ausgerechnet werden kann, ebenso muss der Term utner der Wurzel [mm] \ge [/mm] 0 sein, also sind soweit ich das richtig "gesehen" habe nur k [mm] \ge [/mm] 1 erlaubt...
Kriege ich dann einen Graph mit Kreisen die eben den Radius [mm] r=\sqrt{ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)} [/mm] haben?!
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Bestimmen Sie den Graph der impliziten Gleichung
>
> [mm]\sin\left(\bruch{2}{e^{(x^2+y^2)}}\right)=1[/mm]
> Also ich habe da folgende Ideen aber ohne Rechner kriege
> ich trotzdem keinen Graph hin...
>
> Also einmal
> [mm]\sin\left(\bruch{2}{e^{(x^2+y^2)}}\right)=1[/mm]
>
> [mm]\gdw \sin\left(\bruch{2}{e^{r^2}}\right)=1[/mm]
>
> [mm]\gdw \left(\bruch{2}{e^{(x^2+y^2)}}\right)=\arcsin(1)+k*2*\pi[/mm]
>
> [mm]\vee \left(\bruch{2}{e^{(x^2+y^2)}}\right)=\pi-\arcsin(1)+k*2*\pi[/mm]
>
> [mm]\gdw \left(\bruch{2}{e^{(x^2+y^2)}}\right)=\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}=e^{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)=x^2+y^2[/mm]
>
> [mm]\gdw y=\pm\sqrt{ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)-x^2}[/mm]
>
> oder:
>
> ...
>
> [mm]\gdw ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)=x^2+y^2[/mm]
>
> [mm]\gdw ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)=r^2[/mm]
>
> [mm]\gdw r=\sqrt{ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)}[/mm]
>
> Also muss k [mm]\ge[/mm] 0 sein, da sonst der ln(...) nicht
> ausgerechnet werden kann, ebenso muss der Term utner der
> Wurzel [mm]\ge[/mm] 0 sein, also sind soweit ich das richtig
> "gesehen" habe nur k [mm]\ge[/mm] 1 erlaubt...
>
> Kriege ich dann einen Graph mit Kreisen die eben den Radius
> [mm]r=\sqrt{ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)}[/mm]
> haben?!
Ja, hier ist aber noch zu beachten, daß
[mm]ln\left(\bruch{2}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)} \ge 0 [/mm]
sein muß.
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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Ich würde schon früher die zulässigen [mm]k[/mm]-Werte untersuchen. Bei [mm]x^2 + y^2 = r^2[/mm] ist ja [mm]r \geq 0[/mm] vorauszusetzen:
[mm]\sin \left( \frac{2}{\operatorname{e}^{r^2}} \right) = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{2}{\operatorname{e}^{r^2}} = \frac{\pi}{2} + 2k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z}[/mm]
Die linke Seite der Gleichung liegt im Intervall [mm](0,2][/mm], wie man dem bekannten Verlauf der Exponentialfunktion entnimmt. Die Gleichung kann daher nur erfüllt werden, wenn
[mm]0 < \frac{\pi}{2} + 2k \pi \leq 2 \ \ \Leftrightarrow \ \ - \frac{1}{4} < k \leq \frac{1}{\pi} - \frac{1}{4}[/mm]
gilt. Die einzige Lösung der Ungleichung ist nun [mm]k=0[/mm]. Daher folgt:
[mm]\frac{2}{\operatorname{e}^{r^2}} = \frac{\pi}{2}[/mm]
was sich leicht nach [mm]r[/mm] auflösen läßt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Mo 09.03.2009 | | Autor: | tedd |
Alles klar!
Danke für die Antwort Leopold_Gast
:)
Gruß,
tedd
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