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Hallo zusammen,
ich hab da nochmal eine zusätzliche Frage zur Gramschen Matrix. (Ich will zeigen, daß die Matrix [mm] A=(\bruch{e^{i+j}}{i+j+1})_{i,j=1,\ldots,n}[/mm] positiv definit ist).
Folgenden Beitrag habe ich schon bei euch dazu gefunden:
> > Ich soll zeigen, dass die Hilbertmatrix
> > [mm]H=(\bruch{1}{i+j-1})_{i,j=1,...,k+1}[/mm] positiv definit
> ist.
> > Hinweis: Betrachte das Integral [mm]||p||_{L^2 ((0,1),\IR)}^2,[/mm]
>
> > wobei das wohl so definiert ist:
> > [mm]||p||_{L^2 ((0,1),\IR)}^2[/mm] =
> > [mm]\integral_{0}^{1}{|p(t)|^2dt}
[/mm]
>
> Die Aufgabe ist mit dem Tipp wirklich sehr einfach. (Ohne
> Tipp wäre ich aber auch drauf gekommen, denke ich mal.) Wir
> betrachten auf [mm]L^2((0,1),\IR)[/mm] das folgende Skalarprodukt:
>
> [mm]\langle x(t),y(t) \rangle := \int\limits_0^1 x(t)y(t)\, dt[/mm].
>
>
> Weiterhin betrachten wir den Unterraum [mm]\Pi_k[/mm] der
> Polynomfunktionen auf [mm][0,1][/mm] vom Grad [mm]\le k[/mm] mit der Basis
>
> [mm]x_1(t)=1[/mm],
> [mm]x_2(t)=t[/mm],
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]x_k(t) = t^{k-1}[/mm],
> [mm]x_{k+1}(t) = t^k[/mm].
>
>
> Jetzt ist die Hilbertmatrix [mm]H[/mm] einfach die Gramsche Matrix
> bezüglich dieses Skalarproduktes und der genannten Basis
> und damit automatisch positiv definit, denn
>
> [mm]H_{ij} = \langle x_i(t),x_j(t) \rangle = \int\limits_0^1 t^{i-1} \cdot t^{j-1}\, dt = \int\limits_0^1 t^{i+j-2}\, dt = \frac{1}{i+j-1}[/mm].
>
Kann ich die Basis
[mm]\{x_1(t)=et, x_2(t)=e^2t^2,\ldots,x_k(t)=e^kt^k\}[/mm]
für den Unterraum der Polynomfunktionen vom Grad [mm]\le k[/mm] auf [mm][0,1][/mm] nehmen um das zu zeigen?
Weiter würde es dann gehen mit
[mm]A_{i,j}=\langle x_i(t),x_j(t)\rangle = \int_0^1e^it^ie^jt^j = \in_0^1e^{i+j}t^{i+j}\,dt = \bruch{e^{i+j}}{i+j+1}[/mm]
Also ist A Gramsche Matrix und damit (wegen Basis linear unabhängig) positiv definite Matrix.
Spricht da was dagegen???
Vielen Dank.
[mm]S^2[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du müsstest nur dein $k$ durch ein $n+1$ ersetzen... 