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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
mich würde interessieren, warum Gram-Matrizen stets positiv semidefinit sind. Genauer meine ich :
Sei $V$ ein reller Vektorraum mit positiv semidefiniter Bilinearform $b$, und seien [mm] $v_1, \ldots, v_k \in [/mm] V$. Warum ist dann die Matrix $( [mm] b(v_i, v_j))_{i,j=1\ldots k}$ [/mm] auch positiv semidefinit ?
Gruß
Jorgi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> mich würde interessieren, warum Gram-Matrizen stets positiv
> semidefinit sind. Genauer meine ich :
>
> Sei [mm]V[/mm] ein reller Vektorraum mit positiv semidefiniter
> Bilinearform [mm]b[/mm], und seien [mm]v_1, \ldots, v_k \in V[/mm]. Warum ist
> dann die Matrix [mm]( b(v_i, v_j))_{i,j=1\ldots k}[/mm] auch positiv
> semidefinit ?
der Einfachheit halber rechnen wir es mal für [mm] $V=\IR^k$:
[/mm]
Sei $B:=( [mm] b(v_i, v_j))_{i,j=1\ldots k}$ [/mm] und sei [mm] $z=(z_1,\,\ldots,\,z_k)^T \in \IR^k$ [/mm] beliebig, dann gilt
[mm] $$z^T\,B\,z=\sum_{i,j=1}^k b(v_i,v_j)\,z_i\,z_j\blue{=}\sum_{i=1}^k b\Big(z_i v_i,\;\sum_{j=1}^k z_j v_j\Big)\blue{=}\underbrace{b\Big(\sum_{j=1}^k z_j v_j,\;\sum_{j=1}^k z_j v_j\Big)}_{\ge 0} \ge 0\,.$$
[/mm]
Die blauen =-Zeichen werden durch die Bilinearität von [mm] $b\,$ [/mm] gerechtfertigt, das [mm] $\underbrace{b\Big(\sum ... ,\sum ... \Big)}_{\ge 0}$, [/mm] weil [mm] $b\,$ [/mm] positiv semidefinit ist.
Und wenn Du nun eine Basis für einen endlich-dimensionalen reellen Vektorraum [mm] $V\,$ [/mm] kennst, wirst Du sicher wissen, dass man einen ![[]](/images/popup.gif) Koordinatenvektor [mm] $(z_1,\,\ldots,\,z_k)^T \in \IR^k$ [/mm] mit einem Vektor von [mm] $V\,$ [/mm] in eindeutiger Weise identifizieren kann.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 So 19.04.2009 | | Autor: | Jorgi |
Alles klar, danke :)
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