Gradient, Rotation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 15.06.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Gradienten folgender Funktionen, wobei:
g, h skalare Funktionen des Arguments, [mm] \overrightarrow{k} [/mm] und [mm] \overrightarrow{a} [/mm] Konstanten sind:
(1) [mm] f(\overrightarrow{r}) [/mm] = [mm] g(\overrightarrow{a}\overrightarrow{r}
[/mm]
[mm] 2)f(\overrightarrow{r})=h(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{r})
[/mm]
[mm] 3)f(\overrightarrow{r})=exp(i [/mm] * [mm] \overrightarrow{k}\overrightarrow{r})
[/mm]
[mm] 4)f(\overrightarrow{r})=cos(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})
[/mm]
[mm] 5)f(\overrightarrow{r})=(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{r})^2 [/mm] |
hi zusammen ^^
mein verständnisproblem liegt egtl bei den ersten beiden....
ist [mm] g(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{r}) [/mm] = [mm] g(a_{1}*x_{1}+a_{2}*x_{2}+a_{3}*x_{3}) [/mm] , wobei [mm] \overrightarrow{r}=(x_{1},x_{2},_{3}) [/mm] ist??
falls das stimmen sollte wär dann [mm] f'(\overrightarrow{r})= \summe_{i=1}^{3} a_{i}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}g(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{r}) [/mm] ?
bei der zweiten ist h(a x r) doch ne fkt vom [mm] |R^3 [/mm] --> |R, nur wenn die funktion dann [mm] h(a_{2}x_{3}-a_{3}x_{2},a_{3}x_{1}-a_{1}x_{3},a_{1}x_{2}-a_{2}x_{1}) [/mm] wie rechnet man den dann mit dem gradienten? ich schätz hier kommt 0 null raus aber hab echt kein plan wie das geht -.-
danke schonmal im voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Mo 16.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen sie die Gradienten folgender Funktionen, wobei:
> g, h skalare Funktionen des Arguments, [mm]\overrightarrow{k}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{a}[/mm] Konstanten sind:
> (1) [mm]f(\overrightarrow{r})[/mm] =
> [mm]g(\overrightarrow{a}\overrightarrow{r}[/mm]
>
> [mm]2)f(\overrightarrow{r})=h(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{r})[/mm]
> [mm]3)f(\overrightarrow{r})=exp(i[/mm] *
> [mm]\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})[/mm]
>
> [mm]4)f(\overrightarrow{r})=cos(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})[/mm]
>
> [mm]5)f(\overrightarrow{r})=(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{r})^2[/mm]
> hi zusammen ^^
> mein verständnisproblem liegt egtl bei den ersten
> beiden....
> ist [mm]g(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{r})[/mm] =
> [mm]g(a_{1}*x_{1}+a_{2}*x_{2}+a_{3}*x_{3})[/mm] , wobei
> [mm]\overrightarrow{r}=(x_{1},x_{2},_{3})[/mm] ist??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> falls das stimmen sollte wär dann [mm]f'(\overrightarrow{r})= \summe_{i=1}^{3} a_{i}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}g(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{r})[/mm]
> ?
Was meinst du mit dieser Schreibweise? Du sollst den Gradienten ausrechnen, also
[mm]\vektor{\displaystyle\bruch{\partial f(\vec r)}{\partial x_1} \\ \displaystyle\bruch{\partial f(\vec r)}{\partial x_2}\\ \displaystyle\bruch{\partial f(\vec r)}{\partial x_3} } [/mm]
> bei der zweiten ist h(a x r) doch ne fkt vom [mm]|R^3[/mm] --> |R,
richtig.
> nur wenn die funktion dann
> [mm]h(a_{2}x_{3}-a_{3}x_{2},a_{3}x_{1}-a_{1}x_{3},a_{1}x_{2}-a_{2}x_{1})[/mm]
> wie rechnet man den dann mit dem gradienten?
Nur die Kettenregel im [mm] $\IR^3$ [/mm] anwenden, zum Beispiel:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_1} h(a_{2}x_{3}-a_{3}x_{2},a_{3}x_{1}-a_{1}x_{3},a_{1}x_{2}-a_{2}x_{1}) [/mm]
[mm] = h_x(a_{2}x_{3}-a_{3}x_{2},a_{3}x_{1}-a_{1}x_{3},a_{1}x_{2}-a_{2}x_{1})* \bruch{\partial}{\partial x_1} (a_{2}x_{3}-a_{3}x_{2}) [/mm]
[mm] + h_y(a_{2}x_{3}-a_{3}x_{2},a_{3}x_{1}-a_{1}x_{3},a_{1}x_{2}-a_{2}x_{1})* \bruch{\partial}{\partial x_1} (a_{3}x_{1}-a_{1}x_{3})[/mm]
[mm] +h_z(a_{2}x_{3}-a_{3}x_{2},a_{3}x_{1}-a_{1}x_{3},a_{1}x_{2}-a_{2}x_{1})* \bruch{\partial}{\partial x_1} (a_{1}x_{2}-a_{2}x_{1}) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:25 Di 17.06.2008 | | Autor: | eumel |
nabend,
frage noch: was bezeichnest du mit [mm] h_{x} [/mm] zb? die jeweilige ableitung von h nach x? dann für [mm] r=(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] die jeweilige ableitung nach x1 etc?
müsste da net egtl stehen:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_1} h(a_{2}x_{3}-a_{3}x_{2},a_{3}x_{1}-a_{1}x_{3},a_{1}x_{2}-a_{2}x_{1}) [/mm] =
= [mm] h_x_{1}(a_{2}x_{3}-a_{3}x_{2},a_{3}x_{1}-a_{1}x_{3},a_{1}x_{2}-a_{2}x_{1})\cdot{} \bruch{\partial}{\partial x_1} (a_{2}x_{3}-a_{3}x_{2}) [/mm]
+ [mm] h_x_{2}(a_{2}x_{3}-a_{3}x_{2},a_{3}x_{1}-a_{1}x_{3},a_{1}x_{2}-a_{2}x_{1})\cdot{} \bruch{\partial}{\partial x_1} (a_{3}x_{1}-a_{1}x_{3})
[/mm]
+ [mm] h_x_{3}.... [/mm] oder?
das gleiche würde ja dann auch für [mm] d/dx_{2} [/mm] dort stehen, eben anstelle von [mm] d/dx_{1} d/dx_{2} [/mm] einsetzen oder?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Di 17.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> nabend,
> frage noch: was bezeichnest du mit [mm]h_{x}[/mm] zb?
Die partielle Ableitung von h nach ihrem ersten Argument. Wie gesagt, nichts Anderes als die Kettenregel.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:39 Di 17.06.2008 | | Autor: | eumel |
und einmal zur kontrolle ^^
ist für 3 folgendes richtig:
[mm] f'(\overrightarrow{r})) [/mm] = [mm] [k_1 i*exp(i\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})), k_2 *i*exp(i\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})),k_3 *i*exp(i\overrightarrow{k}\overrightarrow{r}))] [/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Di 17.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> und einmal zur kontrolle ^^
> ist für 3 folgendes richtig:
> [mm]f'(\overrightarrow{r}))[/mm] = [mm][k_1 i*exp(i\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})), k_2 *i*exp(i\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})),k_3 *i*exp(i\overrightarrow{k}\overrightarrow{r}))][/mm]
> ???
Die rechte Seite stimmt, aber die Schreibweise [mm]f'(\overrightarrow{r}))[/mm] ist -- vorsichtig formuliert -- äußerst ungewöhnlich. Schreibe [mm] $\vec{\nabla} [/mm] f$ oder [mm] $\mathop{\mathrm{grad}} [/mm] f$, also:
[mm] \mathop{\mathrm{grad}} f(\vec{r}) = i \vec{k} \exp(i\vec{k}*\vec{r}) [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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