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Hallo,
im Zuge einer Berechnung muss ich die Parameter bestimmen, die eine Funktion T minimieren. T hat dabei folgendes Aussehen: [mm]T(x) = (v - u(x))^T \cdot A \cdot (v - u(x))[/mm], wobei A eine symmetrische Matrix ist. Vielleicht ein Beispiel:
[mm]v = \vektor{1 \\
2 \\
1 \\
3}, u(x) = \vektor{x_1 \\
x_1 + x_2 \\
x_2 + x_3 \\
x_1 + x_3}[/mm], A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 1 & 5 & 6 \\
3 & 5 & 1 & 7 \\
4 & 6 & 7 & 1 } [/mm]
Ich mache das ganze mit R (Funktion optim())), wobei der Algorithmus schneller/besser ist/sein soll, wenn man einen Gradienten angibt. Bei der Angabe des Gradienten habe ich Probleme bzw. bin mir unsicher. Der Gradient für eine Funktion f ist ja gegeben durch:
[mm]\Delta f = \vektor{ {\frac{\partial f}{\partial x_1} } \\
... \\
{\frac{\partial f}{\partial x_3}}}[/mm], d.h. ich muss die Ableitungen für die einzelnen Parameter bestimmen. Meine Idee war jetzt folgende: Im Prinzip handelt es sich bei T ja um eine Komposition: Zunächst wird u(x) berechnet und dann T. Bei der Ableitung gilt doch dann [mm]T'(u) \circ u'[/mm]. Die Ableitung T'(u) ist meines Erachtens: [mm]-u(x)^T \cdot A \cdot (v - u(x)) - (v - u(x))^T \cdot A \cdot u(x) [/mm]. Wenn ich jetzt z.B. die Ableitung für [mm]x_1 [/mm] suche, dann wäre [mm]u' = \vektor{1 \\
1 \\
0 \\
1}[/mm] und das würde ich jetzt in T'(u) einsetzen. Haut das so hin oder bin ich auf dem Holzweg (auch wegen der Ableitung).
Beste Grüße, Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Mi 18.01.2012 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
ich denke, dass meine Ableitung falsch war und es einfach
[mm]-u'(x)^T \cdot A \cdot (v-u(x)) - (v - u(x))^T \cdot A \cdot u'(x)[/mm] ist. Kann mir das jemand bestätigen?
Viele Grüße, Steffen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 19.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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