Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f(x,y) := [mm] \begin{cases} \bruch{y^3}{x^2 + y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass im Nullpunkt alle Richtungsableitungen von f existieren, dass aber i.a. [mm] D_{u}f(0,0) \not= [/mm] gradf(0,0)*u ist. |
Also für [mm] D_{u}f(0,0) [/mm] kriege ich raus (dabei ist [mm] u=(u_{1}, u_{2})):
[/mm]
[mm] \bruch{u_2^3}{u_1^2 + u_2^2}
[/mm]
Für gradf(x,y) kriege ich raus: [mm] (\bruch{-y^3*2x}{(x^2 + y^2)^2}, \bruch{3y^2x^2+y^4}{(x^2 + y^2)^2})
[/mm]
Laut Lösung muss gradf(0,0) = (0,1) sein. Dies kann ich aber nicht nachvollziehen. Hat jemand einen Tipp?
|
|
| |
|
Hallo Heureka,
> Sei f(x,y) := [mm]\begin{cases} \bruch{y^3}{x^2 + y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass im Nullpunkt alle Richtungsableitungen von
> f existieren, dass aber i.a. [mm]D_{u}f(0,0) \not=[/mm] gradf(0,0)*u
> ist.
> Also für [mm]D_{u}f(0,0)[/mm] kriege ich raus (dabei ist [mm]u=(u_{1}, u_{2})):[/mm]
>
> [mm]\bruch{u_2^3}{u_1^2 + u_2^2}[/mm]
>
> Für gradf(x,y) kriege ich raus: [mm](\bruch{-y^3*2x}{(x^2 + y^2)^2}, \bruch{3y^2x^2+y^4}{(x^2 + y^2)^2})[/mm]
>
> Laut Lösung muss gradf(0,0) = (0,1) sein. Dies kann ich
> aber nicht nachvollziehen. Hat jemand einen Tipp?
Berechne doch mal [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$
[/mm]
Dann siehst du, dass [mm] $\nabla [/mm] f(0,0)=(0,1)$ ist ...
LG
schachuzipus
|
|
|
|
