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| Aufgabe | Es sei f : (0, [mm] \infty)² \to \IR, [/mm] de finiert durch f(x,y) = [mm] \wurzel{xy}. [/mm] Für c > 0 heißt [mm] f^{-1} [/mm] ({c}) =
{(x,y): f(x,y)=c} die Höhenlinie zum Niveau c.
Zeigen Sie, dass in jedem Punkt in [mm] (0,\infty)² [/mm] gilt:
"Gradient [mm] \perp [/mm] Höhenlinie", d.h. der Gradient und die Tangente an die betre ffende Höhenlinie stehen senkrecht aufeinander. |
Kann ich dies folgendermaßen zeigen?
x= (x,y) [mm] \in [/mm] T [mm] \gdw [/mm] df=0 [mm] \gdw [/mm] df = grad [mm] {f(c)}^T [/mm] (x-c) = 0
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 So 28.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Dein Beweis ist absolut unklar... Du musst die Kettenregel benutzen: Sei [mm] $c\in f(\IR^2)$ [/mm] und sei [mm] $\gamma:[0,1]\to \IR^2$ [/mm] ein differenzierbarer Weg in [mm] $f^{-1}(c)$, [/mm] d.h. [mm] $f(\gamma(t))=c$ [/mm] für alle [mm] $t\in[0,1]$. [/mm] Dann folgt aus der Kettenregel [mm] $$\underbrace{df(\gamma(t))}_{\operatorname{grad}f\big|_{\gamma(t)}}\cdot\ d\gamma(t)=0$$ [/mm] und [mm] $d\gamma(t)$ [/mm] ist die Richtung der Tangenten von [mm] $\gamma$ [/mm] an der Stelle [mm] $\gamma(t)$.
[/mm]
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Mo 29.06.2009 | | Autor: | gabis_kind |
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
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