Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Mi 29.11.2006 | | Autor: | gosch |
| Aufgabe | Sei[m] \mathcal{S}^{n-1} := \{x \in \IR^{n} : ||x|| = 1\}[/m], wobei [m]\||x|| := \wurzel{\left\langle x,x \right\rangle }[/m] und [m]\left\langle x,y \right\rangle := \summe_{j=1}^{n} x_{j}y_{j} (x,y \in \IR^n).[/m] Außerdem sei [mm] \mathcal{A} \subseteq \IR^n [/mm] offen und [m] f : \mathcal{A} \to \IR [/m] einmal stetig differenzierbar in [m] a \in \mathcal{A}[/m]. Wir definieren
[m] h : \mathcal{S}^{n-1} \to \IR ; h(x) :=\bruch{d}{dt}f(a+tx)_|_{t=0}. [/m]
Zeige: [m] h(\overline{x})[/m] ist genau dann maximal, wenn [m]\overline{x} = [/m] grad[m] f(a)[/m] erfüllt ist. Der Gradient ist also die Richtung des stärksten Ansteiges von [m] f [/m] im Punkt [m] a [/m]. |
Hallo,
Leider kann ich mit diese Aufgabe gar nichts anfangen. Ich weiß nur, dass grad[m] f(a) = \pmat{\bruch{ \partial f}{\partial x_1} (a)\\ .\\.\\.\\ \bruch{\partial f}{\partial x_n} (a)}[/m].
Wäre dankbar für paar Tipps.
LG,
gosch
|
|
| |
|
Zunächst einmal kann man [mm]h(x)[/mm] berechnen. Die Funktion
[mm]\varphi(t) = f \left( a + tx \right)[/mm]
ist für genügend kleine [mm]|t|[/mm] definiert (Offenheit von [mm]\mathcal{A}[/mm]). Und nach der mehrdimensionalen Kettenregel folgt:
[mm]\varphi'(t) = f' \left( a + tx \right) \cdot x[/mm]
Der Malpunkt bezeichnet die Matrizenmultiplikation, der linke Faktor ist ein Zeilenvektor (übrigens gerade der Gradient von [mm]f[/mm] an der Stelle [mm]a + tx[/mm]), der rechte ein Spaltenvektor. Das ist aber nichts anderes, als wenn man das Skalarprodukt zweier Zeilen- oder Spaltenvektoren bildet:
[mm]\varphi'(t) = \left\langle f' \left( a + tx \right) \, , \, x \right\rangle[/mm]
Und speziell für [mm]t=0[/mm] erhält man:
[mm]\varphi'(0) = \left\langle f'(a) \, , \, x \right\rangle[/mm]
Mit anderen Worten:
[mm]h(x) = \left\langle \operatorname{grad}{f}(a) \, , \, x \right\rangle[/mm]
Der Rest der Aufgabe ist mir auch nicht so ganz klar. Natürlich ist [mm]h(x)[/mm] maximal, wenn [mm]x = \operatorname{grad}{f}(a)[/mm] gilt. Nur soll ja [mm]x \in S^{n-1}[/mm] gelten, und [mm]\operatorname{grad}{f}(a)[/mm] muß ja nicht zwangsläufig den Betrag 1 haben. Oder hat der Überstrich bei [mm]\bar{x}[/mm] eine spezielle Bedeutung, die du verschwiegen hast?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Do 30.11.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo Leopold_Gast
> Der Rest der Aufgabe ist mir auch nicht so ganz klar.
> Natürlich ist [mm]h(x)[/mm] maximal, wenn [mm]x = \operatorname{grad}{f}(a)[/mm]
> gilt. Nur soll ja [mm]x \in S^{n-1}[/mm] gelten, und
> [mm]\operatorname{grad}{f}(a)[/mm] muß ja nicht zwangsläufig den
> Betrag 1 haben. Oder hat der Überstrich bei [mm]\bar{x}[/mm] eine
> spezielle Bedeutung, die du verschwiegen hast?
So weit ich weiß, keine spezielle Bedeutung.
Es ist aber ein Fehler in der Aufgabenstellung, die uns heute gesagt wurde. Wir sollten zeigen, dass [m]h(\overline{x})[/m] genau dann maximal ist, wenn [m]\overline{x} = \bruch{grad f(a)}{||grad f(a)||}[/m] erfüllt ist.
Vielleicht jetzt kann man damit was machen?
Wäre dankbar für eine Idee.
LG
gosch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Do 30.11.2006 | | Autor: | SEcki |
> Vielleicht jetzt kann man damit was machen?
Es gibt 'ne Ungleichung, eine gewisse ...
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Do 30.11.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo SEcki,
klar, es geht um Cauchy- Schwarzsche Ungleichung. Habe eben im Buch von Heuser was dazu gefunden und versuche grade nachvollziehen, was hier steht.
Mit der Richtungsableitung verstehe ich allerdings nicht so richtig. Habe auch noch eine Frage im Forum gestellt, wo ich zeigen soll, dass die Abbildung Richtungsableitungen in jeder Richtung besitzt und die andere partiell diff.bar ist.
Wäre schön, wenn Du mir da helfen würdest.
Gruß
gosch
|
|
|
| |
|
Betrachte das Skalarprodukt zwischen einem festen Vektor [mm]b[/mm] und einem variablen Vektor [mm]x[/mm]. Wenn [mm]\delta[/mm] der Winkel zwischen beiden Vektoren ist, so gilt:
[mm]\langle b , x \rangle = |b| \, |x| \, \cos{\delta}[/mm]
worin die Striche die euklidische Norm bezeichnen mögen. Wenn dann speziell noch [mm]|x| =1[/mm] gilt, kann man weiter vereinfachen:
[mm]\langle b , x \rangle = |b| \, \cos{\delta}[/mm]
Und dieser Ausdruck wird maximal, wenn der Cosinus 1 wird. Das ist aber genau für [mm]\delta = 0[/mm] der Fall. [mm]b[/mm] und [mm]x[/mm] sind dann linear abhängig und zeigen sogar in dieselbe Richtung. Anders gesagt: [mm]x[/mm] ist der auf Länge 1 normierte Vektor [mm]b[/mm].
|
|
|
|
