Grad eines Polynoms < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] f: \IC \to \IC [/mm] eine ganze Funktion. Zeigen Sie: Falls [mm] k \in \IZ [/mm] mit [mm] k > 0 [/mm] und Konstanten [mm] c, C > 0 [/mm] und [mm] R_{0} > 0 [/mm] existieren, so dass [mm] cR^k \le sup_{z \in S_{R}(0)} |f(z)| \le CR^k [/mm] [mm] \forall R \ge R_{0} [/mm], dann ist f ein Polynom vom Grad k. |
Hallo!
Ich habe einen Beweis vorliegen, leider verstehe ich eine Sache am Anfang nicht:
Da f eine ganze FUnktion ist, konvergiert die Potenzreihe um 0
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} a_{n}z^n [/mm] [mm] \forall z \in \IC [/mm] gegen [mm] f(z) [/mm].
Nach einem Satz über die Potenzreihendarstellung gilt dann:
[mm] a_{n}= \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{|z|=R}{\bruch{f(z)}{z^n} dz} [/mm] [mm] \forall R>0 [/mm]
Mich irritiert, dass im Nenner im Integral nur [mm] z^n [/mm] steht und nicht [mm] z^{n+1}, [/mm] wie ich es aus dem Satz kenne. Dieser lautet folgender Maßen:
Es sei G ein Gebiet, [mm] f: G \to \IC [/mm] holomorph, [mm] z_{0} \in \IC, r>0 [/mm] sd. [mm] \overline{B_{r}(z_{0})} \subset G [/mm] , [mm] \gamma(t)=z_{0}+r*e^{2 \pi it}, t \in [0,1] [/mm].
Dann lässt sich f bei [mm] z_{0} [/mm] durch die Potenzreihe [mm] f(z-z_{0}) = \summe_{n=0}^{ \infty} a_{n} (z-z_{0})^n [/mm] mit [mm] a_{n}= \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{ \gamma}{\bruch{f( \phi)}{( \phi - z_{0})^{n+1}} d \phi} [/mm] darstellen.
Was übersehe ich da?
Kann mir jemand helfen? Das wäre super!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Di 02.09.2014 | | Autor: | hippias |
Das ist sicherlich ein Schreibfehler: der Exponent muss $n+1$ heissen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Di 02.09.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ah, super, danke! 
Mit n+1 sollte es auch funktionieren, dachte aber, dass das vllt einen Sinn hat, den ich nicht erkenne...
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