Grad Hessematrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Di 24.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo musste von folgender Funktion den grad berechnen und die Hessematrix und möchte gerne meine Ableitungen überprüfen lassen:
f(x,y) = sin( x+y) das ist ja nach additionstheorem das gleiche wie:
f(x,y) = sinx cosy + cosx siny
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = cosx cosy - sinx siny
[mm] f_{xx}(x,y) [/mm] = -sinx cosy - cosx siny
[mm] f_{y}(x,y) [/mm] = -siny sinx + cosy cosx
[mm] f_{yy}(x,y) [/mm] = -cosy sinx - siny cosx
[mm] f_{xy}(x,y) [/mm] = siny cosx - cosy sinx
[mm] f_{yx}(x,y) [/mm] = -cosx siny - sinx cosy
stimmt das?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Hallo musste von folgender Funktion den grad berechnen und
> die Hessematrix und möchte gerne meine Ableitungen
> überprüfen lassen:
>
> f(x,y) = sin( x+y) das ist ja nach additionstheorem das
> gleiche wie:
> f(x,y) = sinx cosy + cosx siny
>
> [mm]f_{x}(x,y)[/mm] = cosx cosy - sinx siny ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f_{xx}(x,y)[/mm] = -sinx cosy - cosx siny
> [mm]f_{y}(x,y)[/mm] = -siny sinx + cosy cosx
> [mm]f_{yy}(x,y)[/mm] = -cosy sinx - siny cosx
> [mm]f_{xy}(x,y)[/mm] = siny cosx - cosy sinx ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier fehlt ein "-"
> [mm]f_{yx}(x,y)[/mm] = -cosx siny - sinx cosy
Die gemischten partiellen Ableitungen [mm] $f_{xy}, f_{yx}$ [/mm] müssen doch gleich sein, hier ist doch alles wunderbar stetig.
>
> stimmt das?
Weitestgehend ja!
Aber warum hast du die Ausgangsfunktion denn "verkompliziert"?
Das ist doch alles sehr viel einfacher und übersichtlicher - auch dann in der Hessematrix - wenn du diese [mm] $\pm\sin(x+y), \pm\cos(x+y)$-Ausdrücke [/mm] nimmst ..
>
> lg Surfer
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:18 Di 24.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ja habs dann auch wieder so umgewandelt, ich fand so übersichtlicher!
mein grad wäre dann (cos(x+y) ; cos(x+y))
und meine Hessematrix = [mm] \pmat{ sin(-x-y) & sin(-y-x) \\ sin(-y-x) & sin(-x-y) } [/mm]
oder?
und wie kann ich denn jetzt die Schmiegquadrik bestimmen an den Graph von f in den Punkten (0,0) und [mm] (\bruch{\pi}{4},\bruch{\pi}{4}) [/mm] .
bitte um rat und danke für die Hilfe
lg Surfer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 26.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Sa 28.06.2008 | | Autor: | django |
[mm] $\displaystyle \operatorname{grad}f=\left(\cos(x+y),\cos(x+y)\right)^{\operatorname t} [/mm] $
und
[mm] \begin{displaymath} \mathrm{H}f=\left( \begin{array}{cc} -\sin(x+y)&-\sin(x+y)\\ -\sin(x+y)&-\sin(x+y) \end{array}\right)\,\text{.} \end{displaymath} [/mm]
Schmiegequadrik= Taylorpolynom 2.Ordnung:
[mm] $\displaystyle T_2\big(f,(x,y),(0,0)\big)$ $\displaystyle [/mm] =x+y$
und
[mm] $\displaystyle T_2\left(f,(x,y),\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)\right)$ $\displaystyle =1-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2 -\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\left(y-\frac{\pi}{4}\right) -\frac{1}{2}\left(y-\frac{\pi}{4}\right)^2\,$. [/mm]
Im Punkt $ (0,0)$ erhält man die Schmiegquadrik
[mm] $\displaystyle [/mm] z=x+y $
also eine Ebene.
Im Punkt $ [mm] \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ [/mm] erhält man die Schmiegquadrik
[mm] $\displaystyle z=1-\frac{1}{2}\left(x+y-\frac{\pi}{2}\right)^2\,$. [/mm]
Dies ist einen parabolischen Zylinder.
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