Goniometrische Gleichungen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mo 17.10.2011 | | Autor: | savy_7 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir haben eine goniometrische Gleichung mit folgenden Lösungen:
tan x=1
tan x=+Wurzel von 3
tan x= - Wurzel von 3
Wie lautet die Lösungsmenge?
Hierfür gibt es doch Formeln wie man von einem in den nächsten Quadranten kommt, wäre nett wenn jemand eine Strategie erläuternt kann wie man am Besten vorgeht. Eine Verallgemeinerung wäre nicht schlecht(Cosinus und Sinus).
Danke
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Hallo savy,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wir haben eine goniometrische Gleichung mit folgenden
> Lösungen:
> tan x=1
> tan x=+Wurzel von 3
> tan x= - Wurzel von 3
>
> Wie lautet die Lösungsmenge?
>
> Hierfür gibt es doch Formeln wie man von einem in den
> nächsten Quadranten kommt, wäre nett wenn jemand eine
> Strategie erläuternt kann wie man am Besten vorgeht. Eine
> Verallgemeinerung wäre nicht schlecht(Cosinus und Sinus).
Na, dann setz doch mal Sinus und Cosinus ein.
[mm] \sin{x}=\cos{x}
[/mm]
[mm] \sin{x}=\wurzel{3}\cos{x}
[/mm]
[mm] \sin{x}=-\wurzel{3}\cos{x}
[/mm]
Jetzt könntest Du zwar noch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um eine der beiden Funktionen zu ersetzen, aber diese Tangenswerte sollte man kennen oder rekonstruieren können.
Geh doch mal die "ausgezeichneten" Werte von Sinus und Cosinus ab, also für 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Ansonsten gilt [mm] \sin{(-x)}=-\sin{(x)} [/mm] und [mm] \cos{(-x)}=\cos{(x)}. [/mm] Damit kommst du doch durch die Quadranten.
Leichter zu merken ist es, wenn man den Einheitskreis durchläuft und sich überlegt, wo Sinus und Cosinus dann jeweils negativ oder positiv sind.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 17.10.2011 | | Autor: | savy_7 |
Ich suche Formel zur Bestimmung der Lösung.
Für tan x =1 und tan x=Wurzel von 3 die Lösungen befinden sich im 1. und 3.Quandranten,deshalb:
x1= 1/4 pi x3=1/4 pi + pi =5/4 pi
x1= 1/3 pi x3=1/3pi+pi
Für Tan x von -Wurzel von 3
im 2. und 4. Quandranten:
x2=pi-X1=p-1/3pi=2/3pi
x4=2pi-XI=2pi-1/3pi=5/3pi
X1=1.Quadrant
X2=2.Quandrant
X3=3.Quandrant
X4=4.Quandrant
Ich meine solche Formeln wie die letzetn beiden, lassen wir es beim Tangens sein. Diese ändern sich halt nicht oder doch?
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Hallo
(1)
tan(x)=1
[mm] x=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
(2)
[mm] tan(x)=\wurzel{3}
[/mm]
[mm] x=\bruch{\pi}{3}
[/mm]
(3)
[mm] tan(x)=-\wurzel{3}
[/mm]
[mm] x=-\bruch{\pi}{3}
[/mm]
jetzt sollte dir die kleinste Peride der Tangesfunktion [mm] \pi [/mm] bekannt sein, deine Gleichungen haben unendlich viele Lösungen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 17.10.2011 | | Autor: | savy_7 |
Ich suche solche Formeln wie die letzten beiden,hat jemand vielleicht solche?
DANKE
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Hallo nochmal,
stimmt etwas nicht mit dem Tipp von Steffi? Du hast beim Tangens keine Lösung in jedem Quadranten.
Wenn Du eine Lösung x hast, dann ist [mm] x+k\pi [/mm] auch eine Lösung, mit [mm] k\in\IZ. [/mm]
Hier hat Deine Lösungsmenge allerdings drei verschiedene x, also [mm] x_1+k\pi, x_2+k\pi, x_3+k\pi.
[/mm]
Wenn Du diese Aussage unbedingt in der Form brauchst, die Du forderst, dann ist also [mm] \tan{(x)}=\tan{(x+\pi)}=\tan{(x-\pi)}. [/mm] Die Darstellung oben ist aber nicht nur besser, sondern die einzig richtige.
Grüße
reverend
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