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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f : [mm] \IR\to\IR [/mm] , f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}e^{\bruch{1}{2}x^{2}} [/mm] (Der Graph dieser Funktion ist die
bekannte Gaußsche Glockenkurve.)
a) Berechnen Sie das Taylorpolynom [mm] T_{5}f(x) [/mm] sowie die Taylorreihe für die Entwicklungsstelle [mm] x_{0}=0 [/mm] an.
b) Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion F(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}. [/mm]
Hinweis: Dieses Integral besitzt keinen geschlossenen Ausdruck als Lösung.
c) Berechnen Sie mit Hilfe des Taylorpolynoms aus a) näherungsweise F(1).
Hinweis: Der exakte Wert ist 0, 842701. |
Guten Abend,
meine Frage: wie soll ich mit der Aufgabe anfangen?
Wenn ich eine Taylorreihe berechne, muss ich jetzt diese Funktion 5mal ableiten?
Danke.
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so, hier die erste ableitung:
[mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\cdot{}\pi}}e^{\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{-x}{\wurzel{2\cdot{}\pi}}e^{\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
richtig?
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Hallo monstre123,
> so, hier die erste ableitung:
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> [mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\cdot{}\pi}}e^{\bruch{1}{2}x^{2}}[/mm]
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> [mm]f'(x)=\bruch{-x}{\wurzel{2\cdot{}\pi}}e^{\bruch{1}{2}x^{2}}[/mm]
>
> richtig?
Die Funktion, die Du differenzieren sollst, lautet
[mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\cdot{}\pi}}e^{\red{-}\bruch{1}{2}x^{2}}[/mm]
Dann stimmt auch die Ableitung
[mm]f'(x)=-\bruch{x}{\wurzel{2\cdot{}\pi}}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}[/mm]
Gruss
MathePower
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> Die Funktion, die Du differenzieren sollst, lautet
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> [mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\cdot{}\pi}}e^{\red{-}\bruch{1}{2}x^{2}}[/mm]
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> Dann stimmt auch die Ableitung
>
> [mm]f'(x)=-\bruch{x}{\wurzel{2\cdot{}\pi}}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
sry, hatte das minus zeichen vergessen :P
so, hier die 2.Ableitung:
[mm] f''(x)=-1*\bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}+(-x)*\bruch{-x}{\wurzel{2*\pi}}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-1}{\wurzel{2*\pi}}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}-\bruch{2x}{\wurzel{2*\pi}}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}(-1-2x)
[/mm]
korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo monstre!
Prinzipiell ganz gut. Allerdings machst Du beim Zusammenfassen einen Fehler.
Es gilt:
$$(-x)*(-x) \ = \ [mm] +x^{\red{2}} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ +2*x$$
Gruß
Loddar
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so hier die 3.Ableitung nachgeschoben:
[mm] f''(x)=\bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}(x^{2}-1)
[/mm]
[mm] f'''(x)=-\bruch{x}{\wurzel{2*\pi}}*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}*(x^{2}-1)+\bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}*(2x)
[/mm]
[mm] =-\bruch{x^{3}}{\wurzel{2*\pi}}*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}+\bruch{x}{\wurzel{2*\pi}}*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}+\bruch{2x}{\wurzel{2*\pi}}*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}(-x^{3}+x+2x)
[/mm]
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mo 24.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig.
und wenn du schon so unsicher bist, bitte die 2 nächsten Ableitungen auf einmal.
Gruss leduart
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eine generelle Frage:
ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*x^{0}=
[/mm]
1) [mm] \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}} [/mm] oder
2) [mm] \bruch{x}{\wurzel{2*\pi}}
[/mm]
ich glaube eher das erstere, oder?
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Hallo
[mm] x^{0}=1 [/mm] für [mm] x\not=0
[/mm]
Steffi
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guten abend,
zu b) hätte ich eine Frage und zwar: was ich hier machen muss wenn ich aus a) die Taylorreihe habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mo 24.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Taylprreihe integrieren!
Gruss leduart
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