Globale Fortsetzung, apriori < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:56 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle, ich habe irgendwie Schwierigkeiten bei der globalen Fortsetzbarkeit einer Lösung:
Wir erhalten zu einem beleibigen Anfangswert [mm] $|u_0|\leqslant [/mm] R$ aus der lokalen Existenz und Eindeutigkeit zunächste eine stetige Funktion [mm] $u:[0,T]\longrightarrow\IR$ [/mm] mit lokalem Existenzintervall $[0,T]$ mit [mm] $T=T(R)<\infty$, [/mm] die die DGL erfüllt. Nun wissen wir für beliebiges $R>0$: (a-priori Schranke)
[mm] $\exists\,C>0\;\wedge\;\exists\,\tilde{t}>0:\quad |u(t;u_0)|\,\leqslant\,C\quad\forall\,t\geqslant\tilde{t}\;\;\forall\,|u_0|\leqslant [/mm] R$
Ich möchte nun mithilfe dieser apriori-Beschränktheit die zeitlich globale Lösbarkeit aller Lösungen zeigen. Sei $R>0$ beliebig, dann muss ich 2 Fälle betrachten:
1. Fall: [mm] ($\tilde{t}\leqslant [/mm] T(R)$, d.h. [mm] $\tilde{t}\in[0,T(R)]$)
[/mm]
Hier können wir die Lösungen leicht fortsetzen (Picard-Lindelöff).
2. Fall: [mm] ($\tilde{t}\geqslant [/mm] T(R)$, d.h. [mm] $\tilde{t}\not\in[0,T(R)]$)
[/mm]
Hier habe ich zwei Fragen:
Was garantiert mir überhaupt, dass ich die Lösungen von $[0,T(R)]$ auf [mm] $[0,\tilde{t}]$ [/mm] fortsetzen kann? Es könnte theoretisch ja auch passieren, dass eine der Lösungen zwischen $T(R)$ und [mm] $\tilde{t}$ [/mm] explodiert, oder irre ich mich? Wenn die Beschränktheit aller Lösungen in [mm] $[T(R),\tilde{t}]$ [/mm] gezeigt ist, so könnten wir die Lösungen auch wieder mit Picard-Lindelöff fortsetzen.
Danke und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:09 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hat sich erledigt.
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