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Glm Konvergenz von Fkt-Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Do 26.04.2007
Autor: jtb

Aufgabe
Untersuchen Sie die Funktionenfolge [mm] f_{n}(x):=\wurzel{\bruch{1}{n^{2}}+|x|^{2}} [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz in K (K=Banachraum)

Punktweise Konvergenz ist klar. Und dass sie - rein anschaulich - auch gleichmäßig konvergent ist gegen f(x)=|x| ebenfalls. Aber wie zeige ich das weniger anschaulich und dafür mathematisch ? *g* Läuft ja dann wohl auf nen Epsilon-n-Null-Beweis raus, aber weiter als bis zu

[mm] |\wurzel{\bruch{1}{n^{2}}+|x|^{2}}-|x|| [/mm]

komme ich irgendwie nicht :-( Hat da evtl. jemand einen Tipp für mich ?

        
Bezug
Glm Konvergenz von Fkt-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Do 26.04.2007
Autor: Hund

Hallo,

deine Aufgabe ist es den Ausdruck abzuschätzen, also:

sup [mm] \wurzel{\bruch{1}{n²}+IxI²}-IxI [/mm]
=sup [mm] \bruch{\bruch{1}{n²}+IxI²-IxI²}{\wurzel{\bruch{1}{n²}+IxI²}+IxI} [/mm]
Ich habe einfach 3. binomische Formel zum erweitern benutzt. Der Nenner ist immer größer oder gleich 1, also kannst du das ganze durch 1/n² abschätzten, was gegen 0 geht. Es folgt glm. Konvergenz.

Ich hoffe, es hat dir geholfen.

Gruß
Hund

Bezug
                
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Glm Konvergenz von Fkt-Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Do 26.04.2007
Autor: jtb

Vielen Dank schonmal für deine Antwort ! Aber weiterhelfen tut mir das irgendwie grade nicht. Mit deiner Umformung wird der Zähler zu [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] und der Nenner bleibt erstmal der Wurzeltherm nur halt mit dem plus.

Aber wieso kann ich jetzt das GANZE als [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] abschätzen ?


/EDIT

Okay, ich glaub ich habs doch geblickt. Am Ende muss dann sowas stehen wie:

sup [mm] \bruch{1}{n^{2}} \bruch{1}{\sqrt{\bruch{1}{n^{2}}+|x|^{2}}+|x|^{2}}<\varepsilon [/mm]

weil das ganze ne Nullfolge ist, ne ?

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Glm Konvergenz von Fkt-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Do 26.04.2007
Autor: Hund

Hallo,

wenn wir den letzten Term abschätzten wollen, dann wird der Term am größten (wir wollen ja das sup), wenn der Nenner am kleinsten wird. Das letzte +IxI² ist größer oder gleich 0 und vergrößert nur den Nenner und verkleinert damit den Ausdruck, also können wir es weglassen und erhalten einen Ausfruck der größer oder gleich dem alten ist. Für das +IxI² gilt doch das gleiche. Stehen bleibt [mm] \wurzel{\bruch{1}{n²}} [/mm] im Nenner, also 1/n und im Zähler steht 1/n². Also kürzt sich beides zu 1/n.

Ich hoffe, es hat dir geholfen.

Gruß
Hund

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Glm Konvergenz von Fkt-Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:33 Do 26.04.2007
Autor: jtb

Okay, ich glaub jetzt hab ichs kapiert... klingt ja eigentlich logisch ;-) Vielen Dank für deine Hilfe !

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