Glm. und pktw. Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mi 18.02.2015 | | Autor: | Sea2605 |
| Aufgabe | Untersuche folgende Funktionenfolgen und die Reihe auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz auf dem jeweils angegebenen Intervall I:
(a) $ [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] x^n [/mm] , I = [mm] [0,\bruch{1}{2}]$
[/mm]
(b) $ [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] x^n [/mm] , I = [0,1]$
(c) $ [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x^2n}{1+x^4n} [/mm] , I = [mm] \IR$
[/mm]
(d) [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{cos(\wurzel{k} x)}{1+k^2}, [/mm] I = [mm] \IR$ [/mm] |
Ich habe die Lösungen bereits vor mir liegen, allerdings habe ich grundlegende Verständnisschwierigkeiten bzgl. glm. und pktw. Konvergenz, die ich trotz Recherche nicht ganz beheben konnte. Daher wollte ich euch um Rat fragen.
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Zunächst die Lösung zu (a):
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Sei dazu $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit $N > [mm] -\bruch{log(\varepsilon)}{log(2)}$ [/mm] * .
Sei desweiteren $x [mm] \in [/mm] I$, dann gilt für $n [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $|f_{n} [/mm] - f(x)| = [mm] |x^n| \le x^n \le (\bruch{1}{2})^n \le \bruch{1}{2^N} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ **
wegen
$ [mm] \bruch{1}{2^N} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] < [mm] 2^N \gdw [/mm] - [mm] \bruch{log(\varepsilon)}{log(2)} [/mm] < N$. Also konvergiert [mm] f_{n} [/mm] auf I gleichmäßig gg. f. Die pktweise Konvergenz von [mm] f_{n} [/mm] gegen f folgt sofort aus der glm. Konvergenz.
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Anschaulich ist mir die Funktionsfolge [mm] f_{n} [/mm] und die Grenzfunktion natürlich klar ( [mm] $x^1, x^2, [/mm] ... [mm] ,x^n$ [/mm] und $f(x)$ sind alle stetige Funktionen und wenn man n [mm] \to \infty [/mm] laufen lässt ist natürlich die Grenzfunktion f(x) =0, weil x [mm] \in [/mm] I und I nur aus Zahlen zwischen 0 und [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] besteht, aber die in der Lösung mit roten Sternchen markierten Stellen irritieren mich.
* = Wie kommt man gleich zu Beginn auf diese Ungleichung? Die Definition gleichmäßiger Konvergenz lautet doch [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists N(\varepsilon) \in \IN$ $\forall N(\varepsilon) \le [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $ : $ [mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon$. [/mm] Wie kommt man von der Definition auf diese Ungleichung?
** = Wie kommt man auf die letzte Ungleichung? Also [mm] \bruch{1}{2^N} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
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Hiho,
> Wie kommt man von der Definition auf diese Ungleichung?
Gar nicht.
Man zäumt das Pferd von hinten auf und beginnt eben mit:
$ [mm] |f_{n} [/mm] - f(x)| = [mm] |x^n| \le x^n \le (\bruch{1}{2})^n \le \bruch{1}{2^N}$
[/mm]
Und überlegt sich nun, ob man das kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] bekommt.
Man fragt sich also: Für welche N gilt:
[mm] $\bruch{1}{2^N} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] und erhält eben
$ N > [mm] -\bruch{log(\varepsilon)}{log(2)} [/mm] $
Dann wählt man sich N geeignet eben so und fängt den Beweis von vorne an.
Später tut man so, als hätte man das von vornherein praktischerweise gewusst.
Und ganz viel später hat man so viel Erfahrung und sieht das wirklich von Beginn an.
> ** = Wie kommt man auf die letzte Ungleichung? Also
> [mm]\bruch{1}{2^N}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Da steht:
[mm] $\bruch{1}{2^N} [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^N$ [/mm] was eine monoton fallende Folge in [mm] \IN [/mm] ist. Schätzt man N also nach unten ab, z.B. wie gegeben durch [mm] $-\bruch{log(\varepsilon)}{log(2)}$ [/mm] erhält man etwas größeres, d.h.:
[mm] $\bruch{1}{2^N} [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^N [/mm] < [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^{-\bruch{log(\varepsilon)}{log(2)}} [/mm] = [mm] \varepsilon$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mi 18.02.2015 | | Autor: | Sea2605 |
Super! Vielen Dank :) Muss sagen: Ein generelles Rezept für die Prüfung der glm. und pktw. Konvergenz wäre echt praktisch...Leider sind die meisten Lösungen grundverschieden aufgebaut.
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Die Lösung zu Aufgabe b:
Zunächst wird die punktwiese Konvergenz gezeigt. Sei also $x [mm] \in [/mm] [0,1]$. Dabei unterscheiden wir zwei Fälle:
Fall 1: $x = 1$. In diesem Fall gilt [mm] $f_{n}(x) [/mm] = 1$ für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] also [mm] $f_{n}(1) \to [/mm] 1 = f(1)$ für $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Fall 2: $0 [mm] \le [/mm] x < 1$. In diesem Fall gilt [mm] $f_{n}(x) [/mm] = [mm] x^n \to [/mm] 0 = f(x)$ für $ n [mm] \to \infty [/mm] $. Also konvergiert [mm] $f_{n}$ [/mm] punktweise gegen $f$. Als Polynom ist [mm] f_{n} [/mm] für jedes n [mm] \in \IN [/mm] stetig. Wäre die Konvergenz gleichmäßig, dann müsste gemäß der Stetigkeit der Grenzfunktion ("Wenn Funktionsfolge glm. gegen f auf I konvergiert und alle Funktionen der Funktionsfolge stetig sind, dann ist auch Grenzfunktion stetig") auch f stetig sein. Offensichtlich ist f aber im Punkt x=1 unstetig, da etwa [mm] $x_{n} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n} \to [/mm] 1$, aber [mm] $f(x_{n}) [/mm] = 0 [mm] \to [/mm] 0 [mm] \not= [/mm] 1 = f(1) $ für $n [mm] \to \infty [/mm] $.
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Wie würde die Lösung anhand der [mm] "\varepsilon [/mm] - Definitionen" aussehen? Wäre das folgendermaßen richtig?
Fall x=1:
[mm] $|f_{n}(x) [/mm] - f(x)| = |1 - 1| = 0 < [mm] \varepsilon$. [/mm] Da [mm] \varepsilon [/mm] nach Definition immer größer Null ist, ist im Fall x=1 pktw.Konvergenz gegeben. Reicht das so und kann man das überhaupt so sagen? Wo schließe ich hier eigentlich die glm. Konvergenz aus?! Die [mm] \varepsilon [/mm] > 0 - Bedingung gilt ja für beide definitionen.
Fall 0 [mm] \le [/mm] x < 1:
[mm] $|f_{n}(x) [/mm] - f(x)| = [mm] |x^n [/mm] - 0 | = [mm] |x^n| \le x^n [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] also muss [mm] \bruch{log(\varepsilon)}{log(x)} [/mm] < n gelten. Ab hier komme ich nicht weiter... Ich muss ja irgendwie zeigen, dass punktweise Konv. gilt , aber gleichmäßige nicht.
Es muss ja noch N [mm] \le [/mm] n eingebaut werden, aber [mm] x^n [/mm] < [mm] x^N [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
wäre falsch (da N [mm] \le [/mm] n) ...womit ich punktweise UND glm. Konvergenz ausschließen würde...
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Hiho,
> Super! Vielen Dank :) Muss sagen: Ein generelles Rezept
> für die Prüfung der glm. und pktw. Konvergenz wäre echt
> praktisch...Leider sind die meisten Lösungen
> grundverschieden aufgebaut.
Ja, aber es gibt recht einfache Möglichkeiten, dazu später mehr.
> Fall x=1:
> [mm]|f_{n}(x) - f(x)| = |1 - 1| = 0 < \varepsilon[/mm]. Da
> [mm]\varepsilon[/mm] nach Definition immer größer Null ist, ist im
> Fall x=1 pktw.Konvergenz gegeben. Reicht das so und kann
> man das überhaupt so sagen?
Ja.
> Wo schließe ich hier eigentlich die glm. Konvergenz aus?!
Gar nicht. Du betrachtest ja nur ein festes x.
Gleichmäßige Konvergenz liegt ja aber gerade dann vor, wenn man [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| unabhängig von x nach oben abschätzen kann.
Wenn man also nur ein x betrachtet, kann man über gleichmäßige Konvergenz gar keine Aussage machen.
> Es muss ja noch N [mm]\le[/mm] n eingebaut werden, aber [mm]x^n[/mm] < [mm]x^N[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] wäre falsch
Nein, bedenke: $x < 1$
In welchem Verhältnis stehen also [mm] x^n [/mm] und [mm] x^N [/mm] falls [mm] $n\ge [/mm] N$?
Wie widerlegt man nun also gleichmäßige Konvergenz:
1.) Man zeigt punktweise Konvergenz und widerlegt rein formal die gleichmäßige Konvergenz. Dazu müsstest du die Definition der gleichmäßigen Konvergenz mal hinschreiben, negieren und dir klar machen, was das dann aussagt. Dann kann man das formal hinschreiben. (sehr technisch)
2.) Man nutzt bekannte Sätze wie bspw: gleichmäßige Grenzwerte stetiger Funktionenfolgen sind stetig. Ist die Grenzfunktion einer stetigen Funktionenfolge unstetig, kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein. (einfach)
3.) Man macht sich folgende Alternativdefinition der gleichmäßigen Konvergenz klar: [mm] $f_n \to [/mm] f$ gleichmäßig [mm] \gdw $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty \to [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm] (klappt immer)
Dabei bezeichnet [mm] $||f||_\infty [/mm] = [mm] \sup_{x\in I}|f(x)|$ [/mm] die Supremumsnorm von f, d.h. [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty$ [/mm] ist das Supremum von [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)|$
Bei deiner Aufgabe wäre nun also: [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] x^n$, [/mm] f wie von dir angegeben.
Betrachte nun doch mal [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 18.02.2015 | | Autor: | Sea2605 |
> > Es muss ja noch N [mm]\le[/mm] n eingebaut werden, aber [mm]x^n[/mm] < [mm]x^N[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] wäre falsch
> Nein, bedenke: [mm]x < 1[/mm]
Klar! Hab das ganz verdrängt, danke :)
> In welchem Verhältnis stehen also [mm]x^n[/mm] und [mm]x^N[/mm] falls [mm]n\ge N[/mm]?
Für beliebige x [mm] \in [/mm] [0,1) gilt also [mm]x^n[/mm] [mm] \le[/mm] [mm]x^N[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] und somit [mm] $x^N [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \bruch{log(\varepsilon)}{log(x)} [/mm] < N [mm] \le [/mm] n $ . Also gilt gleichmäßige Konvergenz im Intervall [0,1).
Da aber für x = 1 nur punktweise Konv. gilt, gilt für die Funktionsfolge nur punktweise Konvergenz im Gesamtintervall [0,1].
Würde das so ausreichen?
>
> Wie widerlegt man nun also gleichmäßige Konvergenz:
>
> 1.) Man zeigt punktweise Konvergenz und widerlegt rein
> formal die gleichmäßige Konvergenz. Dazu müsstest du die
> Definition der gleichmäßigen Konvergenz mal hinschreiben,
> negieren und dir klar machen, was das dann aussagt. Dann
> kann man das formal hinschreiben. (sehr technisch)
>
> 2.) Man nutzt bekannte Sätze wie bspw: gleichmäßige
> Grenzwerte stetiger Funktionenfolgen sind stetig. Ist die
> Grenzfunktion einer stetigen Funktionenfolge unstetig, kann
> die Konvergenz nicht gleichmäßig sein. (einfach)
>
> 3.) Man macht sich folgende Alternativdefinition der
> gleichmäßigen Konvergenz klar: [mm]f_n \to f[/mm] gleichmäßig
> [mm]\gdw[/mm] [mm]||f_n - f||_\infty \to 0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] (klappt
> immer)
>
> Dabei bezeichnet [mm]||f||_\infty = \sup_{x\in I}|f(x)|[/mm] die
> Supremumsnorm von f, d.h. [mm]||f_n - f||_\infty[/mm] ist das
> Supremum von [mm]|f_n(x) - f(x)|[/mm]
>
> Bei deiner Aufgabe wäre nun also: [mm]f_n(x) = x^n[/mm], f wie von
> dir angegeben.
>
> Betrachte nun doch mal [mm]||f_n - f||_\infty[/mm]
>
> Gruß,
> Gono
Super, der 3. Ansatz wäre immer gut zu können. Verstehe ich richtig: Wir betrachten den größten Wert den $ [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| $ annehmen kann und wenn dieser gegen Null läuft (für n [mm] \to \infty), [/mm] dann gilt glm. konvergenz für [mm] f_{n}?
[/mm]
Für n [mm] \to \infty [/mm] ist die Grenzfunktion f(x) = 0 für x [mm] \in [/mm] [0,1) und f(x) = 1 für x=1, soweit ists ja klar.
Fall x = 1:
$ [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| = |1-1| = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] ||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty [/mm] = $ [mm] \sup_{x\in I}|f_n [/mm] - f| = [mm] \sup_{x\in I}0 [/mm] = 0$
Fall 0 [mm] \le [/mm] x < 1:
$ [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| = [mm] |x^n [/mm] - 0 | = [mm] |x^n| [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] ||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty [/mm] = [mm] \sup_{x\in I}|x^n| \not= [/mm] 0 $, da der größte Betrag ein [mm] $x^n$ [/mm] mit $n = 1$ ist bei dem x unendlich nah an 1 ist. Also z.B. [mm] $\sup_{x\in I}(0.99999999....)^n [/mm] = [mm] (0.99999999....)^1 \not= [/mm] 0$ [mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] nicht gleichmäßig konvergent.
Dies ist genau im Widerspruch zu meinem obigen Ergebnis...
Wo habe ich die Denkfehler drin?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Do 19.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Es muss ja noch N [mm]\le[/mm] n eingebaut werden, aber [mm]x^n[/mm] < [mm]x^N[/mm] <
> > [mm]\varepsilon[/mm] wäre falsch
> > Nein, bedenke: [mm]x < 1[/mm]
>
> Klar! Hab das ganz verdrängt, danke :)
>
> > In welchem Verhältnis stehen also [mm]x^n[/mm] und [mm]x^N[/mm] falls [mm]n\ge N[/mm]?
>
> Für beliebige x [mm]\in[/mm] [0,1) gilt also [mm]x^n[/mm] [mm]\le[/mm] [mm]x^N[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] und somit [mm]x^N < \varepsilon \gdw \bruch{log(\varepsilon)}{log(x)} < N \le n[/mm]
> . Also gilt gleichmäßige Konvergenz im Intervall [0,1).
Nein, das stimmt nicht. Dein N hängt noch von x ab !
Angenommen, [mm] (f_n) [/mm] wäre auf [0,1) glm. konvergent. Zu [mm] \varepsilon=1/3 [/mm] gäbe es dann ein N mit:
[mm] x^n< [/mm] 1/3 für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] [0,1).
Ist nun n>N und [mm] x=bruch{1}{2^n}, [/mm] so würde
1/2 < 1/3
folgen. Das ist aber Quark !
>
> Da aber für x = 1 nur punktweise Konv. gilt, gilt für die
> Funktionsfolge nur punktweise Konvergenz im Gesamtintervall
> [0,1].
>
> Würde das so ausreichen?
>
> >
> > Wie widerlegt man nun also gleichmäßige Konvergenz:
> >
> > 1.) Man zeigt punktweise Konvergenz und widerlegt rein
> > formal die gleichmäßige Konvergenz. Dazu müsstest du die
> > Definition der gleichmäßigen Konvergenz mal hinschreiben,
> > negieren und dir klar machen, was das dann aussagt. Dann
> > kann man das formal hinschreiben. (sehr technisch)
> >
> > 2.) Man nutzt bekannte Sätze wie bspw: gleichmäßige
> > Grenzwerte stetiger Funktionenfolgen sind stetig. Ist die
> > Grenzfunktion einer stetigen Funktionenfolge unstetig, kann
> > die Konvergenz nicht gleichmäßig sein. (einfach)
> >
> > 3.) Man macht sich folgende Alternativdefinition der
> > gleichmäßigen Konvergenz klar: [mm]f_n \to f[/mm] gleichmäßig
> > [mm]\gdw[/mm] [mm]||f_n - f||_\infty \to 0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] (klappt
> > immer)
> >
> > Dabei bezeichnet [mm]||f||_\infty = \sup_{x\in I}|f(x)|[/mm] die
> > Supremumsnorm von f, d.h. [mm]||f_n - f||_\infty[/mm] ist das
> > Supremum von [mm]|f_n(x) - f(x)|[/mm]
> >
> > Bei deiner Aufgabe wäre nun also: [mm]f_n(x) = x^n[/mm], f wie von
> > dir angegeben.
> >
> > Betrachte nun doch mal [mm]||f_n - f||_\infty[/mm]
> >
> > Gruß,
> > Gono
>
> Super, der 3. Ansatz wäre immer gut zu können. Verstehe
> ich richtig: Wir betrachten den größten Wert den [mm]|f_n(x) - f(x)|[/mm]
> annehmen kann
Solch einen Wert muss es nicht geben ! Daher sup ...
> und wenn dieser gegen Null läuft (für n
> [mm]\to \infty),[/mm] dann gilt glm. konvergenz für [mm]f_{n}?[/mm]
>
> Für n [mm]\to \infty[/mm] ist die Grenzfunktion f(x) = 0 für x [mm]\in[/mm]
> [0,1) und f(x) = 1 für x=1, soweit ists ja klar.
> Fall x = 1:
> [mm]|f_n(x) - f(x)| = |1-1| = 0 \Rightarrow[/mm] [mm]||f_n[/mm] - [mm]f||_\infty[/mm]
> = [mm]\sup_{x\in I}|f_n - f| = \sup_{x\in I}0 = 0[/mm]
Das ist doch Unfug !!!
>
> Fall 0 [mm]\le[/mm] x < 1:
> [mm]|f_n(x) - f(x)| = |x^n - 0 | = |x^n|[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]||f_n - f||_\infty = \sup_{x\in I}|x^n| \not= 0 [/mm],
> da der größte Betrag ein [mm]x^n[/mm] mit [mm]n = 1[/mm] ist bei dem x
> unendlich nah an 1 ist.
Unfug !!!
> Also z.B. [mm]\sup_{x\in I}(0.99999999....)^n = (0.99999999....)^1 \not= 0[/mm]
> [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] nicht gleichmäßig konvergent.
>
> Dies ist genau im Widerspruch zu meinem obigen Ergebnis...
>
> Wo habe ich die Denkfehler drin?
Hab ich Dir gesagt
FRED
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