Gleichungssystem lösen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] N\ge2.Man [/mm] finde die Lösung des folgendes Gleichungssystems in [mm] \IZ/N\IZ.
[/mm]
[mm] x+y+z\equiv1
[/mm]
[mm] x+y-z\equiv0
[/mm]
[mm] x-y+z\equiv0 [/mm] |
Guten Abend^^
Ich hab dieses Gleichungssystem "ganz normal" gelöst und hab x=0, y=0.5 und z=0.5 raus.Ich soll aber die Lösung in [mm] \IZ/N\IZ [/mm] finden.
Was genau bedeutet das?Also ich weiß,dass [mm] \IZ [/mm] die ganzen Zahlen sind,d.h. mein y=z=0.5 kann nicht stimmen?
Aber wie rechne ich das denn sonst aus?
Und ich verstehe nicht,wieso [mm] N\ge2 [/mm] sein muss?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> Sei N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]N\ge2.Man[/mm] finde die Lösung des folgendes
> Gleichungssystems in [mm]\IZ/N\IZ.[/mm]
>
> [mm]x+y+z\equiv1[/mm]
> [mm]x+y-z\equiv0[/mm]
> [mm]x-y+z\equiv0[/mm]
> Guten Abend^^
>
> Ich hab dieses Gleichungssystem "ganz normal" gelöst und
> hab x=0, y=0.5 und z=0.5 raus.Ich soll aber die Lösung in
> [mm]\IZ/N\IZ[/mm] finden.
> Was genau bedeutet das?Also ich weiß,dass [mm]\IZ[/mm] die ganzen
> Zahlen sind,d.h. mein y=z=0.5 kann nicht stimmen?
> Aber wie rechne ich das denn sonst aus?
> Und ich verstehe nicht,wieso [mm]N\ge2[/mm] sein muss?
Aus der Kongurenz [mm]x+y-z\equiv0[/mm] folgt [mm]z \equiv x+y[/mm].
Wird diese Erkenntnis in die Kongruenz [mm]x+y+z\equiv1[/mm] eingesetzt,
so ergibt sich:
[mm]x+y+z\equiv1 \gdw x+y+x+y = 2*\left(x+y\right) \equiv1[/mm]
Diese Kongruenz ist nur lösbar, wenn ein
multiplikativ Inverses zu 2 in [mm]\IZ/N\IZ[/mm] existiert.
>
> Vielen Dank
> lg
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Di 26.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Aus der Kongurenz [mm]x+y-z\equiv0[/mm] folgt [mm]z \equiv x+y[/mm].
>
> Wird diese Erkenntnis in die Kongruenz [mm]x+y+z\equiv1[/mm]
> eingesetzt,
> so ergibt sich:
>
> [mm]x+y+z\equiv1 \gdw x+y+x+y = 2*\left(x+y\right) \equiv1[/mm]
>
> Diese Kongruenz ist nur lösbar, wenn ein
> multiplikativ Inverses zu 2 in [mm]\IZ/N\IZ[/mm] existiert.
Ok.Also [mm] \IZ/N\IZ [/mm] ist die Menge der Restklassen modulo n.So,wir hatten uns aufgeschrieben,dass eine Restklasse von der Form [mm] a+n*\IZ [/mm] ist.
Wie schreibe ich denn die Lösung in dieser Form auf?
Muss ich dann schreiben [mm] 2+n*\IZ, [/mm] dann wäre das multiplikative Inverse [mm] 1+n*\IZ [/mm] ???
lg
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Hallo Mandy_90,
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> > Aus der Kongurenz [mm]x+y-z\equiv0[/mm] folgt [mm]z \equiv x+y[/mm].
> >
> > Wird diese Erkenntnis in die Kongruenz [mm]x+y+z\equiv1[/mm]
> > eingesetzt,
> > so ergibt sich:
> >
> > [mm]x+y+z\equiv1 \gdw x+y+x+y = 2*\left(x+y\right) \equiv1[/mm]
> >
> > Diese Kongruenz ist nur lösbar, wenn ein
> > multiplikativ Inverses zu 2 in [mm]\IZ/N\IZ[/mm] existiert.
>
> Ok.Also [mm]\IZ/N\IZ[/mm] ist die Menge der Restklassen modulo
> n.So,wir hatten uns aufgeschrieben,dass eine Restklasse von
> der Form [mm]a+n*\IZ[/mm] ist.
> Wie schreibe ich denn die Lösung in dieser Form auf?
> Muss ich dann schreiben [mm]2+n*\IZ,[/mm] dann wäre das
> multiplikative Inverse [mm]1+n*\IZ[/mm] ???
Stelle zunächst fest für welche N die Kongruenz
[mm]2*\left(x+y\right) \equiv1 \ \left(N\right)[/mm]
lösbar ist.
Das multiplikative Inverse zu 2 ist dann [mm]2^{-1}[/mm].
Daher lautet dann die Lösung [mm]2^{-1}+N*\IZ[/mm].
>
> lg
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 26.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy_90,
>
> >
> > > Aus der Kongurenz [mm]x+y-z\equiv0[/mm] folgt [mm]z \equiv x+y[/mm].
> >
> >
> > > Wird diese Erkenntnis in die Kongruenz [mm]x+y+z\equiv1[/mm]
> > > eingesetzt,
> > > so ergibt sich:
> > >
> > > [mm]x+y+z\equiv1 \gdw x+y+x+y = 2*\left(x+y\right) \equiv1[/mm]
> > >
> > > Diese Kongruenz ist nur lösbar, wenn ein
> > > multiplikativ Inverses zu 2 in [mm]\IZ/N\IZ[/mm] existiert.
> >
> > Ok.Also [mm]\IZ/N\IZ[/mm] ist die Menge der Restklassen modulo
> > n.So,wir hatten uns aufgeschrieben,dass eine Restklasse von
> > der Form [mm]a+n*\IZ[/mm] ist.
> > Wie schreibe ich denn die Lösung in dieser Form auf?
>
>
> > Muss ich dann schreiben [mm]2+n*\IZ,[/mm] dann wäre das
> > multiplikative Inverse [mm]1+n*\IZ[/mm] ???
>
>
> Stelle zunächst fest für welche N die Kongruenz
>
> [mm]2*\left(x+y\right) \equiv1 \ \left(N\right)[/mm]
>
> lösbar ist.
Also nach Vorraussetzung muss schon mal N [mm] \ge [/mm] sein.
Aber ein genaues N kann ich nicht angeben,weil ich dafür doch entweder x oder y brauche?
>
> Das multiplikative Inverse zu 2 ist dann [mm]2^{-1}[/mm].
>
Das verstehe ich nicht,wie kommst du drauf,dass das multiplikative Inverse zu 2 [mm] 2^{-1}=0.5 [/mm] ist?
> Daher lautet dann die Lösung [mm]2^{-1}+N*\IZ[/mm].
>
>
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo Mandy_90,
> >
> > >
> > > > Aus der Kongurenz [mm]x+y-z\equiv0[/mm] folgt [mm]z \equiv x+y[/mm].
> >
> >
> > >
> > > > Wird diese Erkenntnis in die Kongruenz [mm]x+y+z\equiv1[/mm]
> > > > eingesetzt,
> > > > so ergibt sich:
> > > >
> > > > [mm]x+y+z\equiv1 \gdw x+y+x+y = 2*\left(x+y\right) \equiv1[/mm]
> > > >
> > > > Diese Kongruenz ist nur lösbar, wenn ein
> > > > multiplikativ Inverses zu 2 in [mm]\IZ/N\IZ[/mm] existiert.
> > >
> > > Ok.Also [mm]\IZ/N\IZ[/mm] ist die Menge der Restklassen modulo
> > > n.So,wir hatten uns aufgeschrieben,dass eine Restklasse von
> > > der Form [mm]a+n*\IZ[/mm] ist.
> > > Wie schreibe ich denn die Lösung in dieser Form
> auf?
> >
> >
> > > Muss ich dann schreiben [mm]2+n*\IZ,[/mm] dann wäre das
> > > multiplikative Inverse [mm]1+n*\IZ[/mm] ???
> >
> >
> > Stelle zunächst fest für welche N die Kongruenz
> >
> > [mm]2*\left(x+y\right) \equiv1 \ \left(N\right)[/mm]
> >
> > lösbar ist.
>
> Also nach Vorraussetzung muss schon mal N [mm]\ge[/mm] sein.
> Aber ein genaues N kann ich nicht angeben,weil ich dafür
> doch entweder x oder y brauche?
>
Das N kannst Du spezifieren.
Gibt es ein multiplikatives Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 4\IZ[/mm] ?
Allgemein ist die Frage, ob es ein multiplikatives
Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 2k\IZ, \ k \in \IN[/mm] gibt.
> >
> > Das multiplikative Inverse zu 2 ist dann [mm]2^{-1}[/mm].
> >
> Das verstehe ich nicht,wie kommst du drauf,dass das
> multiplikative Inverse zu 2 [mm]2^{-1}=0.5[/mm] ist?
Das hat sich so eingebürgert, daß man für das multiplikative Inverse
zu einer Zahl a aus der Restklasse [mm]\IZ / N\IZ[/mm] [mm] a^{-1} [/mm] schreibt,
sofern ein solches Inverses in dieser Restklasse existiert.
[mm]2^{-1}[/mm] ist hier nicht 0.5, da wir uns im Bereich der ganzen Zahlen bewegen.
> > Daher lautet dann die Lösung [mm]2^{-1}+N*\IZ[/mm].
> >
> >
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
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> Das N kannst Du spezifieren.
>
> Gibt es ein multiplikatives Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 4\IZ[/mm] ?
>
> Allgemein ist die Frage, ob es ein multiplikatives
> Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 2k\IZ, \ k \in \IN[/mm] gibt.
Ist also gefragt,ob es ein multiplikatives Inverses zu 2 in den ganzen Zahlen gibt? Und was genau heißt dann [mm] 2k\IZ?
[/mm]
Ich würde sagen es gibt kein multiplikatives Iverses zur 2 denn das multipl. neutrale ist 1 und ich kann die 2 nicht mit einer ganzen Zahl mitnehmen,sodass 1 rauskommt.
>
>
> > >
> > > Das multiplikative Inverse zu 2 ist dann [mm]2^{-1}[/mm].
Also gibt es doch eins.Was war dann falsch an meiner Überlegung?
> > >
> > Das verstehe ich nicht,wie kommst du drauf,dass das
> > multiplikative Inverse zu 2 [mm]2^{-1}=0.5[/mm] ist?
>
>
> Das hat sich so eingebürgert, daß man für das
> multiplikative Inverse
> zu einer Zahl a aus der Restklasse [mm]\IZ / N\IZ[/mm] [mm]a^{-1}[/mm]
> schreibt,
> sofern ein solches Inverses in dieser Restklasse
> existiert.
>
> [mm]2^{-1}[/mm] ist hier nicht 0.5, da wir uns im Bereich der ganzen
> Zahlen bewegen.
>
>
> > > Daher lautet dann die Lösung [mm]2^{-1}+N*\IZ[/mm].
> > >
> > >
> > lg
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Hallo Mandy_90,
>
> >
> > Das N kannst Du spezifieren.
> >
> > Gibt es ein multiplikatives Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 4\IZ[/mm] ?
> >
> > Allgemein ist die Frage, ob es ein multiplikatives
> > Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 2k\IZ, \ k \in \IN[/mm] gibt.
> Ist also gefragt,ob es ein multiplikatives Inverses zu 2
> in den ganzen Zahlen gibt? Und was genau heißt dann
> [mm]2k\IZ?[/mm]
Konkret heisst da, ob es in den Restklassen [mm]\IZ / 4\IZ, \ \IZ / 6\IZ, \ \IZ / 8\IZ[/mm]
usw. ein multiplikativ Inverses zu 2 gibt.
> Ich würde sagen es gibt kein multiplikatives Iverses zur
> 2 denn das multipl. neutrale ist 1 und ich kann die 2 nicht
> mit einer ganzen Zahl mitnehmen,sodass 1 rauskommt.
Richtig.
> >
> >
> > > >
> > > > Das multiplikative Inverse zu 2 ist dann [mm]2^{-1}[/mm].
>
> Also gibt es doch eins.Was war dann falsch an meiner
> Überlegung?
Nun, Du hast das Inverse zu 2 im Bereich der reellen Zahlen angegeben.
Hier handelt es sich aber zweifelsohne um den Bereich der ganzen Zahlen.
> > > >
> > > Das verstehe ich nicht,wie kommst du drauf,dass das
> > > multiplikative Inverse zu 2 [mm]2^{-1}=0.5[/mm] ist?
> >
> >
> > Das hat sich so eingebürgert, daß man für das
> > multiplikative Inverse
> > zu einer Zahl a aus der Restklasse [mm]\IZ / N\IZ[/mm] [mm]a^{-1}[/mm]
> > schreibt,
> > sofern ein solches Inverses in dieser Restklasse
> > existiert.
> >
> > [mm]2^{-1}[/mm] ist hier nicht 0.5, da wir uns im Bereich der ganzen
> > Zahlen bewegen.
> >
> >
> > > > Daher lautet dann die Lösung [mm]2^{-1}+N*\IZ[/mm].
> > > >
> > > >
> > > lg
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Kann ich dann als Lösung einfach hinschreiben [mm] \IL=2^{-1}+N\cdot{}\IZ [/mm] ?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Sa 30.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Kann ich dann als Lösung einfach hinschreiben
> [mm]\IL=2^{-1}+N\cdot{}\IZ[/mm] ?
>
> lg
Auf alle Fälle solltest du dazuschreiben, dass dies nur für ungerade N möglich ist.
(Ein Beispiel: Für N=5 hat 2 das Inverse 3, denn 2*3=6, 6 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5.)
Gruß Abakus
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