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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Gleichungssystem lösen
Gleichungssystem lösen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gleichungssystem lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 Di 31.03.2009
Autor: imbroken603

Aufgabe
Lösen sie folgendes Gleichungssystem:
[mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{3} [/mm] + [mm] a_{4} [/mm] + [mm] 2a_{5}=0 [/mm]
[mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{3}+ a_{5}=0 [/mm]
[mm] a_{1}+a_{2} [/mm] + [mm] a_{4} [/mm] + [mm] a_{5}=0 [/mm]

hallo
ich bräuchte hilfe.habe schon alles versucht,komme aber immer drauf,dass a1+a5 null sind

I-II Gleichung ergibt:
[mm] a_{4} [/mm] + [mm] a_{5}=0 [/mm]

dann hab ich noch hier stehen:
[mm] a_{4} [/mm] + [mm] a_{5}=0 [/mm]

[mm] a_{1}+a_{2} [/mm] + [mm] a_{4} [/mm] + [mm] a_{5}=0 [/mm]

und dann?
ich hoffe es kann mir jemand helfen:(

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Gleichungssystem lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Di 31.03.2009
Autor: schachuzipus

Hallo imbroken603,

> Lösen sie folgendes Gleichungssystem:
>  [mm]a_{1}[/mm] - [mm]a_{3}[/mm] + [mm]a_{4}[/mm] + [mm]2a_{5}=0[/mm]
>  [mm]a_{1}[/mm] - [mm]a_{3}+ a_{5}=0[/mm]
>  [mm]a_{1}+a_{2}[/mm] +
> [mm]a_{4}[/mm] + [mm]a_{5}=0[/mm]
>  hallo
>  ich bräuchte hilfe.habe schon alles versucht,komme aber
> immer drauf,dass a1+a5 null sind
>  
> I-II Gleichung ergibt:
>  [mm]a_{4}[/mm] + [mm]a_{5}=0[/mm]
>  
> dann hab ich noch hier stehen:
>  [mm]a_{4}[/mm] + [mm]a_{5}=0[/mm]
>  
> [mm]a_{1}+a_{2}[/mm] + [mm]a_{4}[/mm] + [mm]a_{5}=0[/mm]
>  
> und dann?
>  ich hoffe es kann mir jemand helfen:(

Ich würde den ganzen Klumpatsch der Übersicht halber mal in eine Matrix schreiben:

Das Gleichungssystem ist ja nichts anderes als die Matrixgleichung [mm] $\pmat{1&0&-1&1&2\\1&0&-1&0&1\\1&1&0&1&1}\cdot{}\vektor{a_1\\a_2\\a_3\\a_4\\a_5}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm]


Stelle dazu die erweiterte Koeffizientenmatrix auf und bringe diese in Zeilenstufenform

[mm] $\pmat{1&0&-1&1&2&\mid&0\\1&0&-1&0&1&\mid&0\\1&1&0&1&1&\mid&0}$ [/mm]

Addiere dazu jeweils das $(-1)$-fache der 1.Zeile auf die Zeilen 2 und 3, das liefert

[mm] $\pmat{1&0&-1&1&2&\mid&0\\0&0&0&-1&-1&\mid&0\\0&1&1&0&-1&\mid&0}$ [/mm]

Nun kannst du noch die Zeilen 2 und 3 tauschen


[mm] $\pmat{1&0&-1&1&2&\mid&0\\0&1&1&0&-1&\mid&0\\0&0&0&-1&-1&\mid&0}$ [/mm]

Und nun kannst du die Lösung "ablesen", du hast 2 freie Parameter, setze [mm] $a_5:=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$, [/mm] dann ist mit Zeile 3: [mm] $-a_4=t$, [/mm] also [mm] $a_4=-t$ [/mm]

Dann weiter mit Zeile 2: setze hier [mm] $a_3:=s$ [/mm] mit [mm] $s\in\IR$ [/mm] und berechne hiermit und mit Zeile 1 die Lösungen für [mm] $a_2, a_1$ [/mm]


>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Gleichungssystem lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:52 Di 31.03.2009
Autor: imbroken603

zuerst mal vielen dank für die beantwortung meiner frage!!
ich bin nun so vorgegangen wie mir empfohlen wurde und habe:
[mm] a_{5}= [/mm] t
[mm] a_{4}= [/mm] -t
[mm] a_{3}=s [/mm]
in I: [mm] a_{1}-s-t+2t= a_{1}-s [/mm] + [mm] t--->a_{1}= [/mm] s-t

II: [mm] a_{2}+s-t ->a_{2}= [/mm] t-s
bzw [mm] a_{2}= -a_{1} [/mm]

sieht dann mein Vektor a so aus?:
[mm] \vec{a}=\vektor{s-t \\ t-s \\ s \\ -t \\ t } [/mm]



Bezug
                        
Bezug
Gleichungssystem lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:56 Di 31.03.2009
Autor: Steffi21

Hallo, korrekt, Steffi

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