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| Aufgabe | Für welche Werte von a besitzt das Gleichungssystem genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen?
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & a \\ 4 & 0 & 1 \\ a & 2 & 4 }
[/mm]
b= [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 2a} [/mm] |
Hallo,
Also ich komm mit der Fragestellung nicht zurecht. Ich weiss wie man ein Gleichungssystem löst, ich weiss auch dass wenn die letzte Zeile der Matrix nur 0 beinhaltet aber die letzte Zeile vom Vektor nicht 0 ist, das System keine Lösung besitzt, wenn in der Matrix die letzte Zeile nur 0 aber das letzte Glied eine Zahl ist, das System eindeutig lösbar ist, und wenn die letzte Zeile nur 0 beinhaltet und die letzte Zeile vom Vektor auch 0 ist, das System unendlich viele Lösungen besitzt.
Aber wie gehe ich an diese Aufgabenstellung heran? Auf gut Glück zahlen für a einsetzten und immer wieder das GLS lösen bis man zu den gewünschten Fällen kommt, ist doch irgendwie zu langwierig. Gibts denn nicht irgendeinen Trick wie man das schon vorher sieht?
Danke schon mal im Vorraus!
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Hallo,
fang doch mal damit an, das Gleichungssystem zunächst auf Zeilenstufenform zu bringen. Bzw so weit Elementar umzuformen, dass du ohne Aussagen über $\ a $ zu machen, keine Lösung bestimmen kannst. Dann wirst du relativ schnell merken, dass du erst durch gewisse Fallunterscheidungen zu Aussagen wie "Nur eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen" kommen kannst.
Grüße
ChopSuey
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Danke für diese Idee, ich hab das jetzt mal gemacht, ich hoffe ich hab keine fehler:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & a \\ 0 & -4 & 1-4a \\ 0 & 0 & 9-4\bruch{1}{2}a} \vektor{1 \\ 0 \\ 2a}
[/mm]
Daraus folgt dass für a=2 keine Lösung besteht. aber ich kann nicht sagen wann es unendlich viele gibt. eindeutige gibts dann anscheinend für alle a ausser 2 und das für das es unendlich viele gibt.
Wie sieht man hier auch noch die anderen 2 Lösungsmöglichkeiten?
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Hallo Wieselwiesel,
> Danke für diese Idee, ich hab das jetzt mal gemacht, ich
> hoffe ich hab keine fehler:
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 & a \\ 0 & -4 & 1-4a \\ 0 & 0 & 9-4\bruch{1}{2}a} \vektor{1 \\ 0 \\ 2a}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Daraus folgt dass für a=2 keine Lösung besteht. aber ich
> kann nicht sagen wann es unendlich viele gibt. eindeutige
> gibts dann anscheinend für alle a ausser 2 und das für
> das es unendlich viele gibt.
>
> Wie sieht man hier auch noch die anderen 2
> Lösungsmöglichkeiten?
Unendliche viele Lösungen gibt es, wenn
[mm]9-4 \bruch{1}{2}*a=9-\bruch{9}{2}*a=0[/mm]
und
[mm]2*a=0[/mm]
gleichzeitig erfüllt sind.
Nun die Gleichungen sind weder für a=0 noch für a=2 erfüllbar.
Demnach gibt es kein a für das unendlich viele Lösungen existieren.
Für a=2 gibt es, wie Du richtig erkannt hast, keine Lösung.
Daraus ergibt sich, daß es für [mm]a \not= 2[/mm] stets eindeutige Lösungen gibt.
Gruss
MathePower
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Danke vielmals! Alle Unklarheiten beseitigt!
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