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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:38 Mi 29.12.2010 | | Autor: | sax318 |
| Aufgabe | Geben Sie die Gleichung jener Geraden g(x) an, die
an der Stelle x= 0,1 eine Tangente an die Funktion
f(x) = [mm] sin(\bruch{2}{x})
[/mm]
ist. Schneiden Sie anschließend die Gerade g(x) mit
der Ausgangsfunktion f(x). Eine Lösung ist (eventuell) der
Berührungspunkt in x = 0,1. Gibt es weitere Schnittpunkte?
Wenn ja, geben Sie sie an. |
Hallo,
zuerst wollte ich mal herausfinden, was eigentlich verlangt ist, aber ich denke bereits hier gescheitert zu sein.
1) ich soll g(x) herausfinden an der stelle x=0,1 also
g(0,1) die eine Tangente an f(x) = [mm] sin(\bruch{2}{x}) [/mm] ist.
2) Dann die g(x) mit f(x) gleichsetzten also g(x) = f(x) (Schnittpunkte)
zu 1)
g(0,1) = tan(f(x) = [mm] sin(\bruch{2}{x}))
[/mm]
argTan(g(0,1) = [mm] sin(\bruch{2}{x})
[/mm]
oke .. das wahr wohl schon zahlenvergewaltigung.. sofern das tan in meiner ersten gleichung überhaupt stimmt?
danke schon mal!
lg
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> Geben Sie die Gleichung jener Geraden g(x) an, die
> an der Stelle x= 0,1 eine Tangente an die Funktion
>
> f(x) = [mm]sin(\bruch{2}{x})[/mm]
>
> ist. Schneiden Sie anschließend die Gerade g(x) mit
> der Ausgangsfunktion f(x). Eine Lösung ist (eventuell)
> der
> Berührungspunkt in x = 0,1. Gibt es weitere
> Schnittpunkte?
> Wenn ja, geben Sie sie an.
> Hallo,
>
> zuerst wollte ich mal herausfinden, was eigentlich verlangt
> ist, aber ich denke bereits hier gescheitert zu sein.
>
> 1) ich soll g(x) herausfinden an der stelle x=0,1 also
> g(0,1) die eine Tangente an f(x) = [mm]sin(\bruch{2}{x})[/mm] ist.
>
> 2) Dann die g(x) mit f(x) gleichsetzten also g(x) = f(x)
> (Schnittpunkte)
>
>
> zu 1)
>
> g(0,1) = tan(f(x) = [mm]sin(\bruch{2}{x}))[/mm]
>
> argTan(g(0,1) = [mm]sin(\bruch{2}{x})[/mm]
>
> oke .. das wahr wohl schon zahlenvergewaltigung.. sofern
> das tan in meiner ersten gleichung überhaupt stimmt?
>
> danke schon mal!
>
> lg
>
>
>
>
Hi,
der Ablauf für dich ist der:
1. Lies nach, was eine Tangente ist - und wie man die Tangente an einen Punkt einer gegebenen Funktion ermittelt.
2. Berechne dann die Tangentengleichung wie folgt:
a) Die Ableitung an der Stelle 0,1 gibt dir die Tangentensteigung an dieser Stelle an.
b) Der Punkt P (0,1/ f(0,1)) liegt auf deiner Tangente drauf, damit kannst du den y-Achsenabschnitt deiner Tangentengleichung berechnen.
3. Setze Tangente und Funktion gleich. Das dürfte recht kompliziert zu lösen sein, vermutlich geht es nicht geschlossen und du musst evtl. so etwas wie das Newton-Verfahren benutzen.
Mir hilft es dabei immer, wenn ich erst einmal den Graphen sehe - vielleicht wäre das auch für dich hilfreich. Daran kannst du sehen, wie der Graph eigentlich aussieht, wie die Tangente ungefähr liegt (und wie demzufolge deren Funktionsgleichung etwa aussehen muss) und wo die Tangente den Graphen von f vielleicht noch einmal schneidet. Dann fällt dir vielleicht auch das Rechnen leichter...
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Di 04.01.2011 | | Autor: | sax318 |
Tangente: http://de.wikipedia.org/wiki/Tangente
ist also eine Gerade an einer Extrema.
zum berechnen: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/71432,0.html
also die tangentenformel:
t(x) = m*x + b
m = f'(0,1)
f(x) = sin(2/x)
f'(x) = cos(2/x)
f'(0,1) = cos(2/0,1)
f'(0,1) = cos(20)
f'(0,1) = 0,9396926208
t(0,1) = 0,9396926208*0,1 + b
t(0,1) = 0,0939692621 + b
aber was mache ich jetzt mit b? b wird wohl auf der x achte der startpunkt sein nehme ich an?
"b) Der Punkt P (0,1/ f(0,1)) liegt auf deiner Tangente drauf, damit kannst du den y-Achsenabschnitt deiner Tangentengleichung berechnen. "
x = 0,1
y = f(0,1)
y = f(x) = sin(2/x) = 0,3420201433
0,3420201433 = 0,0939692621 + b
b= 0,240508812
t(x) =t(0,1) = 0,9396926208* x + 0,240508812
f(x) = sin(2/x)
gleichsetzten:
0,9396926208* x + 0,240508812 = sin(2/x)
0,9396926208* x + 0,240508812 - sin(2/x) = 0
hmm das newtonsche nährugnsverfahren funktioniert nur, wenn man zumindest eine ungefährung ahnung hat - sonst führt es wohl ins nichts..
da ist bei mir wohl raten sinnvoller....
ABER: ich habs mal bei wolframalpha eingegeben:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%2C9396926208*+x+%2B+0%2C240508812++-+sin%282%2Fx%29+%3D+0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%2C9396926208*+x+%2B+0%2C240508812+%3D+sin%282%2Fx%29
das ist ja waaahnsinn!
und in endeffekt ist die lösung
2.. irgendwas <> 0
das ist schon häftig.. voll frustrierend da macht man so eine monsterrechnung um sagen zu können 2 ist nicht null...
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> Tangente: http://de.wikipedia.org/wiki/Tangente
>
> ist also eine Gerade an einer Extrema.
Nein.
>
> zum berechnen:
> http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/71432,0.html
>
> also die tangentenformel:
> t(x) = m*x + b
>
> m = f'(0,1)
>
> f(x) = sin(2/x)
> f'(x) = cos(2/x)
Die Ableitung ist falsch. Du vergisst die Kettenregel, denn [mm] \bruch{2}{x} [/mm] ist auch eine Funktion (die "innere"). Das kann dir übrigens auch Wolframalpha inkl. Rechenschritte erklären.
> f'(0,1) = cos(2/0,1)
> f'(0,1) = cos(20)
> f'(0,1) = 0,9396926208
>
> t(0,1) = 0,9396926208*0,1 + b
>
> t(0,1) = 0,0939692621 + b
>
> aber was mache ich jetzt mit b? b wird wohl auf der x achte
> der startpunkt sein nehme ich an?
>
> "b) Der Punkt P (0,1/ f(0,1)) liegt auf deiner Tangente
> drauf, damit kannst du den y-Achsenabschnitt deiner
> Tangentengleichung berechnen. "
>
> x = 0,1
> y = f(0,1)
>
> y = f(x) = sin(2/x) = 0,3420201433
Das stimmt nicht - du musst hier mit dem Bogenmaß rechnen (Taschenrechner auf RAD stellen), nicht mit dem Winkelmaß.
Das geht übrigens so, weil der Punkt $(0,1 / [mm] \sin(20) [/mm] )$ auch auf der Tangente drauf liegen muss, denn dort soll dein $g(x)$ ja gerade deine Funktion $f(x)$ berühren.
>
> 0,3420201433 = 0,0939692621 + b
> b= 0,240508812
>
> t(x) =t(0,1) = 0,9396926208* x + 0,240508812
> f(x) = sin(2/x)
>
> gleichsetzten:
> 0,9396926208* x + 0,240508812 = sin(2/x)
>
> 0,9396926208* x + 0,240508812 - sin(2/x) = 0
>
> hmm das newtonsche nährugnsverfahren funktioniert nur,
> wenn man zumindest eine ungefährung ahnung hat - sonst
> führt es wohl ins nichts..
Dann lass dir die beiden (KORREKTEN!) Funktionen einfach mal zeichnen. Oder überleg dir einfach mal, wie das aussieht, das reicht hier auch schon. Also wenn du weißt, ob die Tangente steigt oder fällt, dann kannst du dir recht einfach überlegen, ob der andere Schnittpunkt weiter rechts oder links von der 0,1 liegen muss.
> da ist bei mir wohl raten sinnvoller....
>
> ABER: ich habs mal bei wolframalpha eingegeben:
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%2C9396926208*+x+%2B+0%2C240508812++-+sin%282%2Fx%29+%3D+0
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%2C9396926208*+x+%2B+0%2C240508812+%3D+sin%282%2Fx%29
>
> das ist ja waaahnsinn!
>
> und in endeffekt ist die lösung
>
> 2.. irgendwas <> 0
> das ist schon häftig.. voll frustrierend da macht man so
> eine monsterrechnung um sagen zu können 2 ist nicht
> null...
Das ist doch auch Quatsch - du kannst dann sagen, ob deine Tangente die Funktion noch einmal schneidet oder nicht und wenn ja, wo sie das tut.
Ob dieses Ergebnis deine Persönlichkeit weiter entwickelt, ist zwar immer noch fraglich, aber zumindest kannst du so die gestellten Fragen beantworten.
>
>
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lg weightgainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 04.01.2011 | | Autor: | sax318 |
t(x) = m*x + b
m = f'(0,1)
f(x) = sin(2/x)
äußere: sin()
innere 2/x
äußere ableiten = cos()
innere ableiten = [mm] \bruch{x-2}{x²}
[/mm]
f'(x) = [mm] cos(\bruch{x-2}{x²})
[/mm]
f'(0,1) = [mm] cos(\bruch{0,1-2}{0,1²})
[/mm]
f'(0,1) = -190
m = -190
t(x) = -190*x + b
korrekt?
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> t(x) = m*x + b
>
> m = f'(0,1)
>
> f(x) = sin(2/x)
>
> äußere: sin()
> innere 2/x
>
> äußere ableiten = cos()
> innere ableiten = [mm]\bruch{x-2}{x²}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]cos(\bruch{x-2}{x²})[/mm]
>
> f'(0,1) = [mm]cos(\bruch{0,1-2}{0,1²})[/mm]
> f'(0,1) = -190
>
> m = -190
> t(x) = -190*x + b
>
>
> korrekt?
>
Nein.
Das mit der Verkettung hast du wirklich noch nicht so richtig durchdacht.....
Hier wird der SINUS mit der Funktion [mm] $\bruch{2}{x}$ [/mm] verkettet (die Bedeutung davon erkläre ich jetzt mal nicht).
Wenn man das ableiten will, muss man sich BEIDE Funktionen anschauen, man nennt sie meistens "innere" und "äußere" Funktion.
Okay, hier ist die innere Funktion $g(x) = [mm] \bruch{2}{x}$.
[/mm]
Die Ableitung weiß man entweder auswendig (dann aber bitte korrekt) oder man schreibt sie anders: $g(x) = [mm] 2*x^{-1}$ [/mm] und verwendet die Potenzregel für das Ableiten.
Wie auch immer, man bekommt $g'(x) = - [mm] \bruch{2}{x^{2}}$ [/mm] bzw. [mm] $g'(x)=-2*x^{-2}$.
[/mm]
Jetzt noch zu der anderen Funktion, die hier [mm] $\sin{irgendwas}$ [/mm] heißt. Das "irgendwas" interessiert jetzt nicht mehr, es bleibt bei der Ableitung einfach gleich, d.h. die Ableitung dieses äußeren Teils ist dann [mm] $\cos{irgendwas}$.
[/mm]
Insgesamt bekommst du mit der bereits mehrfach genannten vereinfachten Regel "innere mal äußere Ableitung":
$f'(x) = - [mm] \bruch{2}{x^{2}} [/mm] * [mm] \cos{\bruch{2}{x}}$
[/mm]
Wenn du das jetzt weiter ableitest, bekommst du es mit einer weiteren Ableitungsregel zu tun, der Produktregel. Das bedeutet aber NICHT, dass du ANDERE Regeln auf einmal weglassen darfst, d.h. beim nächsten Schritt musst du gleich mehrere Regeln beachten.
Viel Spaß dabei.
lg weightgainer
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