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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Fr 05.06.2009 | | Autor: | damn1337 |
Hallo Leute, ich habe ien Problem damit ein Gleichungssystem zu lösen. Ich habe das alles noch nicht so verstanden.
Folgende Gleichungen:
1)a+b+c+d=0
2)8a+4b+2c+d=4
3)12a+4b+c=-2
4)12a+2b=0
Jetzt die Frage ob ich richtig gedacht habe. Ich habe:
(2)-8*(1)=(2.1) gerechnet : -4b-6c-7d=4 So habe ich es in einem anderen Artikel gelesen. Ist das der richtige Anfang? Eine Beispielrechnung, die für mich Nachvollziehbar ist, wäre super!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fabba |
Der Übersicht halber benutzt man oft römische Zahlen für die Gleichungen
I) a+b+c+d=0
II) 8a+4b+2c+d=4
III)12a+4b+c=-2
IV) 12a+2b=0
Die vom Ansatz her einfachsten Verfahren sind das Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren.
Bei ersterem stellst Du eine Gleichung nach einer Variable um (zB IV: b=-a6), und kannst dann diese Variable in einer (oder allen) anderen Gleichungen ersetzen, solange bis irgendwo nur noch Variable=Wert steht.
Beim Gleichsetzungsverfahren stellt man so um, dass auf je einer Seite von zwei Gleichungen dasselbe steht (c-d = 1+5e, c-d=a+b) und setzt dann gleich (1+5e=a+b), wodurch möglichst Variablen rausfallen sollten.
Dein Schritt
(II)-8*(I)=II*) -4b-6c-7d=4
basiert auf einem anderen Verfahren, ist aber sehr gut. Weiter würde es gehen, indem Du dasselbe Spiel mit (III) und (IV) machst, solange bis nur noch in (I) das a vorkommt. Dann zB (II) durch -4 Teilen (sodass der Koeffizient von b 1 ist) und Vielfache von (II) von den anderen subtrahieren, bis nur noch in (II) das b vorkommt usw.
Nennt sich Gauß-Verfahren, basiert auf dem Additionsverfahren (man kann zu einer beliebigen Gleichung eine beliebige andere dazuaddieren). Am Ende steht (im Fall, dass das System genau eine Lösung hat) direkt:
I) a = ...
II) b = ...
III) c = ...
IV) d = ...
Das Gute daran ist, dass man ganz strikt dem Algorithmus folgen kann. Kann aber für einfache Systeme manchmal umständlich werden (Brüche).
Wenn Du damit klar kommst, ist das super.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Sa 06.06.2009 | | Autor: | damn1337 |
Okay, danke erstmal für deine Mühe.!
Ich habe jetzt noch folgendes gemacht:
2-(8)*1=2.1=-4b-6c-7d=4
3-(12)*1=3.1=-8b-11c-12d=-14
4-(12)*1=4.1=-10b-12c-12d=-12
Also habe ich jetzt folgende Gleichungen:
2.1)-4b-6c-7d=4
3.1)-8b-11c-12d=-14
4.1)-10b-12c-12d=-12
und 1 bleibt immernoch
1)a+b+c+d=0 ?!
Dann ist ja 1) die einzige Gleichung wo jetzt noch das a vorkommt, also --> Etappenziel erreicht =)
Jetzt würde ich, so wie du es Vorgeschlagen hast, die 2. Gleichung, also
2)8a+4b+2c+d=4 //(-4)
daraus folgt:
2)-2a-b-0,5c-0,25d=1
Also ost das jetzt erstmal meine 2. Gleichung? Das kann ich einfach so machen?!
Nun rechne ich:
1-(-1)*2=1.1=-a+0,5c+0,75d=-1
Somit wäre das b aus der ersten gleichung Verschwunden. Stimmt das soweit?
Jetzt würde ich das selbe mit den anderen Gleichungen machen, sodass nurnoch in der 2. gleichung das b steht. Dann würden allerdings auch die Gleichungen 3.2 und 4.2 entstehen, oder? Dann vernachlässige ich die Gleichungen 3.1 und 4.1 und ersetze sie durch die neuen?! Stimmt das so?
Tut mir Leid wenn ich mich ein bisschen dumm anstelle, aber ihr helft mir wirklich sehr.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Mo 08.06.2009 | | Autor: | moody |
Hallo,
> Jetzt würde ich, so wie du es Vorgeschlagen hast, die 2.
> Gleichung, also
> 2)8a+4b+2c+d=4 //(-4)
> daraus folgt:
> 2)-2a-b-0,5c-0,25d=1
Du hast doch jetzt die Gleichungen nach folgendem Muster umgestellt:
I xa+xb+xc+dx =x
II xb+xc+dx =x
III xb+xc+dx =x
IV xb+xc+dx =x
Der nächste Schritt soll sein:
I xa+xb+xc+dx =x
II xb+xc+dx =x
III xc+dx =x
IV xc+dx =x
Und das Ziel:
I xa+xb+xc+dx =x
II xb+xc+dx =x
III xc+dx =x
IV dx =x
Dann kannst du bequem einsetzen.
In deiner Rechnung verwendust du ja jetzt wieder die Ausgangsgleichung für II. Nutze doch deine umgeformte Rechnung weiter in der das a schon rausgefallen ist.
Allgemein würde ich bei diesem System aber sowieso das Einsetzsystem bevorzugen da es in meinen Augen hier auf jeden Fall leichter ist.
lg moody
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Hi damn,
ich habe dir mal im Anhang eine Datei hochgeladen, mit einer Beispielaufgabe, wie wir sie gerechnet haben - vielleicht kannst Du damit mehr anfangen - falls noch eine Frage zu Deiner Aufgabe offen ist, helfe ich Dir gerne weiter ;)
![[]](/images/popup.gif) Klick mich für den ersten Schritt einer Beispielaufgabe
Du multipliziert die Gleichung 2 mit -2, denn es soll ja erreicht werden, dass die erste Variable in der zweiten Gleichung wegfallen soll.
Jetzt rechnest Du 1 * (-2) +2 = 0
somit ist in der Gleichung 2 das x1 = 0
Die komplette Gleichung multiplizierst Du so durch.
Das Selbe veranstaltest Du mit den anderen Gleichungen.
In deinem Fall wäre die erste Berechnung:
a + b+ c+ d = 0
8a+4b+2c+d=4
Multiplikation mit (-8)
=>
a + b + c + d = 0
0 - 4b- 6c -8d = -8
jetzt käme die Gleichung 3 dran.
Ich hoffe, ich konnte Dir den Ansatz einigermaßen erklären, wenn nicht, sag nochmal bescheid ;)
und ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet :D
Müsste aber so stimmen.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Sa 06.06.2009 | | Autor: | damn1337 |
Erstmal danke für deine Mühen.
Ich habe es allerdings immernoch nicht verstanden. In deiner Beispielaufgabe ist jetzt noch kein Ergebnis zu erkennen, oder? Das einzige was du gemacht hast ist ja, dass jetzt deine erste Gleichung die einzige ist, in der ein x1 vorhanden ist, oder?
Und ich habe es jetzt so verstanden, dass ich noch so lange weiterrechnen muss, bis auch das b,c und du oder bei dir halt x2,x3,x4 in irgendeiner gleichung nurnoch einmal auftauchen? Tut mir leid, ich bin wirklich ein bisschen schwierig...
danke
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Okay, ich war mal so frei, und löse dir mal die Aufgabe, wenn Du möchtest, kann ich dir dann eine Ersatzaufgabe geben - von Gleichungssystemen hab ich genügend :)
Also, es ist der Gauß-Algorithmus, meiner Meinung nach, der einfachste Weg (meiner Meinung nach) solche Gleichungssysteme zu lösen.
Zur Lösung - Vergrößerung durch srtg und + nötig ;)
Du schreibst die Gleichung mit den wenigsten Variablen nach ganz oben, und nach unten hin, immer mehr - die Gleichungen innerhalb des Gleichungssystems können vertauscht werden.
Der Rechenschritt, der rechts immer durch die Pfeile gekennzeichnet ist, ist relativ einfach zu verstehen:
Du nimmst aus der Gleichung 2. die 12 von a, und teilst sie durch die 12 von der 1. Gleichung.
Beide Werte sind positiv, deshalb ist es -1 (12 / 12 = 1). Du nimmst die komplette 2. Gleichung mit -1 mal.
Aus Gleichung 3 steht vor dem a ja eine 1 - daher der Rechenschritt * (-1 / 12) , gleiches wie in der ersten Gleichung, die ganze Gleichung mal (- 1 / 12)
und so weiter.
Falls weitere Fragen bestehen, kannst Du dich gerne melden, und wenn Du noch ein paar Aufgaben brauchst zu linearen Gleichungssystemen, kannst Du dich gerne bei mir melden ;)
Hoffe, ich konnte dir ein wenig weiter helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 07.06.2009 | | Autor: | damn1337 |
Ich danke dir sehr, es hat mir wirklich viel geholfen. Wenn du mir noch ein paar Gleichungssysteme geben könntest, wäre das super, dann kann ich noch ein bisschen üben =)
Am besten wäre es natürlich wenn du mir die Lösungen dazu schriebst, falls du diese parat hast, dann kann ich meine Ergebnisse gleich überprüfen.
Danke an alle die mitgeholfen haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Sa 06.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Leute, ich habe ien Problem damit ein
> Gleichungssystem zu lösen. Ich habe das alles noch nicht so
> verstanden.
>
> Folgende Gleichungen:
> 1)a+b+c+d=0
> 2)8a+4b+2c+d=4
> 3)12a+4b+c=-2
> 4)12a+2b=0
>
>
> Jetzt die Frage ob ich richtig gedacht habe. Ich habe:
>
> (2)-8*(1)=(2.1) gerechnet : -4b-6c-7d=4 So habe ich es in
> einem anderen Artikel gelesen. Ist das der richtige Anfang?
> Eine Beispielrechnung, die für mich Nachvollziehbar ist,
> wäre super!
>
> Danke
Hallo,
wenn du ein Gleichungssystem löst, gibt es zwei vernünftige Möglichkeiten:
a) Du kennst ein Verfahren, das bei dir sicher funktioniert - egal, wie viele Schritte dafür nötig sind. Dann zieh es gnadenlos durch.
b) Du legst dich nicht auf ein spezielles Verfahren fest, sondern schaust, ob das GS eine schwache Stelle hat, an der es ohne Aufwand zu knacken ist. Und diese Stelle gibt es hier.
Die Gleichung IV hat nur zwei Variable!!!!
Du kannst also nach einer von beiden Umstellen.
Entweder b=-6a oder [mm] a=-\bruch{b}{6}. [/mm] Du kannst in allen übrigen Gleichungen die eine Variable durch die andere ausdrücken.
Es wäre allerdings eine Riesendummheit, a durch [mm] -\bruch{b}{6} [/mm] zu ersetzen, weil man dann in alle anderen Gleichungen Brüche reinbringt. Komfortabler ist das Ersetzen von b durch -6a.
Aus den ersten 3 Gleichungen wird damit:
I) a+(-6a)+c+d=0
II) 8a+4(-6a)+2c+d=4
III)12a+4(-6a)+c=-2
Jetzt ist III) die schwächste Stelle des GS, weil auch dort nur 2 Variablen enthalten sind.
III) lässt sich umstellen zu c=-2+12a .
Damit kannst du c in den Gleichungen I) und II) jeweils durch -2+12a ersetzen und erhältst damit nur noch ein GS mit 2 Gleichungen und den zwei Variablen a und d. (Das zu lösen sollte Standard sein).
Gruß Abakus
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![[]](http://img14.imageshack.us/img14/5581/gau2s.jpg/){kind=small}
Klick mich für den ersten Schritt einer Beispielaufgabe![[]](http://img189.imageshack.us/i/ccf0606200900000.jpg//){kind=small}
Zur Lösung - Vergrößerung durch srtg und + nötig ;)