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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Mi 09.03.2016 | | Autor: | sandroid |
| Aufgabe | Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
[mm] $x_j [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{p} a_{jk}x_k [/mm] = [mm] y_j$ [/mm] ($j=1,...,p$)
immer genau dann eine Lösung besitzt, wenn wenigstens eine der Zahlen [mm] $||(a_{jk})||_{\infty}$, $||(a_{jk})||_1$, $||(a_{jk})||_{2}$ [/mm] kleiner als 1 ist. In diesem Falle kann man die Lösung durch einen Grenzprozess gewinnen.
Hinweis: Aufgabe 4 und Satz 110.3 oder auch Satz 111.11 (Letzterer ist für die Konstruktion der Lösung zweckmäßiger).
Anmerkung: [mm] $||.||_{\infty}$, $||.||_1$, $||.||_2$ [/mm] sind bei Heuser die Notationen für Zeilensummennorm, Spaltensummennorm und Quadratsummennorm. Satz 110.3 behandelt die Invertierbarkein eines Elements aus einem Banachraum bei Konvergenz der Neumannschen Reihe, Satz 111.11 ist der Banachsche Fixpunktsatz und Aufgabe 4 zeigt die Kleiner-Gleich-Beziehungen der Abbildungsnormen mit der Zeilensummennorm, Spaltensummennorm und Quadratsummennorm. |
Hallo,
ich habe das Problem so formuliert:
[mm] $x_j [/mm] = [mm] A(x)_j [/mm] + [mm] y_j$ [/mm] für $j=1,...,p$, wobei $A: [mm] \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] [A][x]$ und $[A] = [mm] (a_{jk})_{jk}$.
[/mm]
Ich weiß aufgrund der Voraussetzung und Aufgabe 4, dass $||A(x)|| < ||x||$, wobei $||.||$ als Norm auf [mm] $\mathbb{R}^p$ [/mm] für [mm] $l^{\infty}$, $l^1$ [/mm] oder für [mm] $l^2$ [/mm] steht, je nach dem, ob die Zeilensummennorm, Spaltensummennorm oder Quadratsummennorm als kleiner 1 gegeben ist.
Ich denke, der Hinweis impliziert, dass es zwei Lösungsmöglichkeiten gibt. Über den ersten, die Neumannsche Reihe, finde ich keinen Ansatz. Beim zweiten, über den Fixpunktsatz, suche ich nach einer kontrahierenden Selbstabbildung, bisher noch ohne Erfolg.
Vielen Dank für jede Hilfe!
Gruß,
Sandro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Do 10.03.2016 | | Autor: | fred97 |
machen wir es allgemein: sei X ein Banachraum und L(X) die Banachalgebra der stetigen linearen Abbildungen von X in sich, versehen mit der üblichen Operatorennorm.
Sei A [mm] \in [/mm] L(X) und $||A||<1 $
Behauptung: ist [mm] y_0 \in [/mm] X , so gibt es genau ein [mm] x_0 \in [/mm] X mit
[mm] x_0-Ax_0=y_0.
[/mm]
1. Beweis (mit dem Banachschen Fixpunktsatz): Definiere die Abbildung $F:X [mm] \to [/mm] X$ durch
[mm] F(x):=Ax+y_0.
[/mm]
Dann haben wir für u,v [mm] \in [/mm] X:
$||F(u)-F(v)||=||Au-Av|| [mm] \le [/mm] ||A||*||u-v||$
Da ||A||<1 ist, ist F kontrahierend. Damit hat F genau einen Fixpunkt [mm] x_0.
[/mm]
Beachte: [mm] F(x_0)=x_0 \gdw x_0-Ax_0=y_0.
[/mm]
Ende Beweis 1.
Beweis 2 (mit der Neumannschen Reihe): da ||A||<1 ist, folgt aus dem Satz über die Neumannsche Reihe:
I-A ist invertierbar in L(X).
Das bedeutet: die Abbildung I-A ist bijektiv. Zu [mm] y_0 [/mm] gibt es also genau ein [mm] x_0 \in [/mm] X mit
[mm] (I-A)x_0=y_0
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Do 10.03.2016 | | Autor: | sandroid |
Vielen Dank Fred!
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