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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Do 19.12.2013 | | Autor: | balthier |
| Aufgabe 1 | tan x - sin x = 2 [mm] sin^{2}\bruch{x}{2}
[/mm]
Hinweis: Das Additionstheorem cos x = 1 - 2 [mm] sin^{2}\bruch{x}{2} [/mm] könnte nützlich sein. |
| Aufgabe 2 | Ein Polynom vierten Grades berührt bei x = –1 die x-Achse von oben und hat den anderen
Tiefpunkt bei x = 2. Die Gerade, die die beiden Tiefpunkte verbindet, hat die Steigung 3.
Außerdem ist der arithmetische Mittelwert der beiden Wendestellen [mm] x_{W1} [/mm] und [mm] x_{W2} [/mm] gleich 2/3.
Wie lautet die Funktionsgleichung des Polynoms?
Hinweis: Machen Sie für das Polynom den Ansatz
f(x) = [mm] ax^{4} [/mm] + [mm] bx^{3} [/mm] + [mm] cx^{2} [/mm] + dx + e
und formen Sie die oben angegebenen Eigenschaften des Polynoms in
Bestimmungsgleichungen für die Unbekannten a, b, c, d und e um. |
Hallo Ihr,
wie zu sehen, habe ich zwei Aufgaben, deren Lösung ich gerne mit eurer Hilfe herausfinden würde.
Zu Aufgabe 1:
Angefangen habe ich damit, tan x auf der linken Seite der Gleichung mit [mm] \bruch{sin x}{cos x} [/mm] zu ersetzen und auf der rechten Seite mit Hilfe des Additionstheorems den Term in 1 - cos x umzuwandeln. Letzteres entspricht wieder sin x, sodass ich schließlich lande bei:
[mm] \bruch{sin x}{cos x} [/mm] = 2 sin x
Ich hoffe, das ist soweit korrekt. Jetzt wird's tricky. Einfacherweise teil ich durch sin x, erhalte [mm] \bruch{1}{cos x} [/mm] = 2.
So, Umkehrfunktion müsste der acos sein. Der ist hier aber nicht definiert. Übersehe ich etwas oder hat die Gleichung keine Lösung?
Zu Aufgabe 2:
Offen gestanden habe ich mir hier noch keine großen Gedanken gemacht. Ich würde einfach mal versuchen, die gegebenen Informationen in die praktische Umsetzung zu bringen.
- Nullstellen und Extremwerte sind identisch. Also könnte ich ja schonmal zwei Gleichungssysteme aufstellen und schauen, ob sich eine Lösung ergibt. Oder nutzt mir das mit aller Wahrscheinlichkeit gar nichts?
- Den Hinweis mit der Geraden verstehe ich nicht. Erstens, was nützt die Information? Die Steigung könnte ich aus der ersten Ableitung ermitteln. Hier ergäbe sich jedoch eine Funktion dritten Grades. Zu welcher Unbekannten gehört denn dann die Steigung? Ferner, ich habe die beiden Punkte (-1; 0) und (2; 0). Wie kann hier eine Gerade mit der Steigung 3 entlang laufen?
- Der Mittelwert der beiden Wendestellen ergibt 2/3. Allem Anschein handelt es sich bei der zweiten Ableitung um eine quadratische Funktion. Das heißt, ich könnte die PQ-Formel eventuell so konstruieren, dass die Mittelwertsberechnung mit einfließt?!
Für den ein oder anderen Denkanstoß sowie Hilfe wäre ich wirklich dankbar :)
Nachtrag: Mein Fehler, dass dieser Beitrag in Sonstiges gerutscht ist. War eher unbeabsichtigt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:49 Do 19.12.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> Zu Aufgabe 1:
> Angefangen habe ich damit, tan x auf der linken Seite der
> Gleichung mit [mm]\bruch{sin x}{cos x}[/mm] zu ersetzen und auf der
> rechten Seite mit Hilfe des Additionstheorems den Term in 1
> - cos x umzuwandeln.
Sehr vernünftig.
> Letzteres entspricht wieder sin x,
Absolut nicht !
Es ist allerdings $ 1 - [mm] cos^2 [/mm] x = [mm] sin^2 [/mm] x $ , aber das ist hier nicht brauchbar.
Multipliziere stattdessen die erhaltene Gleichung mit cos x (wieso ist das eine Äquivalenzumformung ?), klammere geeignet aus und bestimme dann die gesuchten Lösungen der Gleichung.
>
> Zu Aufgabe 2:
> Offen gestanden habe ich mir hier noch keine großen
> Gedanken gemacht. Ich würde einfach mal versuchen, die
> gegebenen Informationen in die praktische Umsetzung zu
> bringen.
(Originelle Formulierung)
> - Nullstellen und Extremwerte sind identisch.
Nein. Lediglich die Extremstelle bei -1 ist auch eine Nullstelle.
> Also könnte
> ich ja schonmal zwei Gleichungssysteme aufstellen und
> schauen, ob sich eine Lösung ergibt. Oder nutzt mir das
> mit aller Wahrscheinlichkeit gar nichts?
Meinst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen ?
> - Den Hinweis mit der Geraden verstehe ich nicht. Erstens,
> was nützt die Information? Die Steigung könnte ich aus
> der ersten Ableitung ermitteln. Hier ergäbe sich jedoch
> eine Funktion dritten Grades. Zu welcher Unbekannten
> gehört denn dann die Steigung? Ferner, ich habe die beiden
> Punkte (-1; 0) und (2; 0). Wie kann hier eine Gerade mit
> der Steigung 3 entlang laufen?
Das liegt eben daran, dass f(2) nicht Null ist, sondern sich f(2) aus dieser Information über die Geradensteigung erschließen lässt.
> - Der Mittelwert der beiden Wendestellen ergibt 2/3. Allem
> Anschein handelt es sich bei der zweiten Ableitung um eine
> quadratische Funktion. Das heißt, ich könnte die
> PQ-Formel eventuell so konstruieren, dass die
> Mittelwertsberechnung mit einfließt?!
>
Richtig. Aus der pq-Formel für $ [mm] x^2 [/mm] + px + q = 0 $ ergibt sich nämlich, dass der Mittelwert der beiden Lösungen -p/2 sein muss.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Do 19.12.2013 | | Autor: | balthier |
Okay, danke erstmal für die Rückmeldung.
Aufgabe 1 müsste damit erledigt sein. Schließlich erhalte ich tan x = 1 und für x somit [mm] \bruch{\pi}{4}+\pi*n, [/mm] n [mm] \in \IZ
[/mm]
Ich schätze, das ist eine Äquivalenzumformung, weil cos x in dem Fall nie null wird.
Aufgabe 2 scheint mir jetzt doch aufwändiger als erwartet.
Dass es sich beim zweiten Extremwert um keine Nullstelle handelt, war mein Fehler.
> Meinst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen ?
Da sich das Blatt gewendet hat, meine ich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Eine für f(-1) = 0, für f'(-1) = 0 und f'(2) = 0. Die habe ich aufgestellt, habe jedoch den Eindruck, das lässt sich nicht so einfach lösen. Hier hänge ich ein wenig.
> Das liegt eben daran, dass f(2) nicht Null ist, sondern
> sich f(2) aus dieser Information über die Geradensteigung
> erschließen lässt.
Verstanden. Also habe ich den Punkt (-1;0) und (2;z). Ich sehe leider immer noch nicht so recht, was das bringt. Spontan fällt mir nur ein, mit f(x) = mx + b zu agieren und eine Gleichung in die andere einzusetzen. Damit ergäbe sich der zweite Punkt (2;9). Stimmt das? Damit ergäbe sich eine weitere Gleichung für das Gleichungssystem.
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Hallo,
> Okay, danke erstmal für die Rückmeldung.
>
> Aufgabe 1 müsste damit erledigt sein. Schließlich erhalte
> ich tan x = 1 und für x somit [mm]\bruch{\pi}{4}+\pi*n,[/mm] n [mm]\in \IZ[/mm]
>
Das ist nicht richtig. Rechne nochmal nach.
> Ich schätze, das ist eine Äquivalenzumformung, weil cos x
> in dem Fall nie null wird.
>
> Aufgabe 2 scheint mir jetzt doch aufwändiger als
> erwartet.
> Dass es sich beim zweiten Extremwert um keine Nullstelle
> handelt, war mein Fehler.
>
> > Meinst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen ?
>
> Da sich das Blatt gewendet hat, meine ich ein
> Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Eine für f(-1) = 0,
> für f'(-1) = 0 und f'(2) = 0. Die habe ich aufgestellt,
> habe jedoch den Eindruck, das lässt sich nicht so einfach
> lösen. Hier hänge ich ein wenig.
>
> > Das liegt eben daran, dass f(2) nicht Null ist, sondern
> > sich f(2) aus dieser Information über die Geradensteigung
> > erschließen lässt.
>
> Verstanden. Also habe ich den Punkt (-1;0) und (2;z). Ich
> sehe leider immer noch nicht so recht, was das bringt.
Du könntest z ausrechnen. Dann hättest du von fünf Bedingungen bereits vier.
> Spontan fällt mir nur ein, mit f(x) = mx + b zu agieren
> und eine Gleichung in die andere einzusetzen. Damit ergäbe
> sich der zweite Punkt (2;9). Stimmt das? Damit ergäbe sich
> eine weitere Gleichung für das Gleichungssystem.
Genau!
Und jetzt noch den Tipp von Sax mit der zweiten Ableitung / pq-Formel umsetzen, das ergibt die fünfte und dein LGS steht.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Do 19.12.2013 | | Autor: | balthier |
> Hallo,
>
> > Okay, danke erstmal für die Rückmeldung.
> >
> > Aufgabe 1 müsste damit erledigt sein. Schließlich
> erhalte
> > ich tan x = 1 und für x somit [mm]\bruch{\pi}{4}+\pi*n,[/mm] n
> [mm]\in \IZ[/mm]
> >
>
> Das ist nicht richtig. Rechne nochmal nach.
Hmm, also ausgehend von Sax' Hinweis und dem Ausklammern, erhalte ich:
sin x (1 - cos x) = cos x (1 - cos x)
Es liegt nahe, dass ich durch 1 - cos x teile, dann durch cos x und ich ende bei:
[mm] \bruch{sin x}{cos x} [/mm] = 1
tan x = 1
Ich habe [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] auch mal in die Gleichung eingesetzt und erhalte eine wahre Aussage.
> Und jetzt noch den Tipp von Sax mit der zweiten Ableitung /
> pq-Formel umsetzen, das ergibt die fünfte und dein LGS
> steht.
Wenn ich so unwissend fragen darf: Was meinst du denn mit fünf Bedingungen? Dass ich am Ende fünf Gleichungen für mein LGS erhalte und so vorgehe, dass ich nacheinander die Unbekannten ausrechne?
Für meine letzte Gleichung:
f''(x) = 12 [mm] ax^{2} [/mm] + 6bx + 2c
Für pq:
0 = [mm] ax^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] bx + [mm] \bruch{1}{6}c
[/mm]
Kann ich dann einfach:
[mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] -\bruch{p}{2} [/mm] mit p = [mm] \bruch{1}{2}b [/mm] ?
Sodass, b = [mm] -\bruch{8}{3} [/mm] ?
Wenn ja, wie geht es dann weiter?
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Hallo,
> > > Okay, danke erstmal für die Rückmeldung.
> > >
> > > Aufgabe 1 müsste damit erledigt sein. Schließlich
> > erhalte
> > > ich tan x = 1 und für x somit [mm]\bruch{\pi}{4}+\pi*n,[/mm]
> n
> > [mm]\in \IZ[/mm]
> > >
> >
> > Das ist nicht richtig. Rechne nochmal nach.
>
> Hmm, also ausgehend von Sax' Hinweis und dem Ausklammern,
> erhalte ich:
>
> sin x (1 - cos x) = cos x (1 - cos x)
>
> Es liegt nahe, dass ich durch 1 - cos x teile, dann durch
> cos x und ich ende bei:
>
> [mm]\bruch{sin x}{cos x}[/mm] = 1
>
> tan x = 1
>
> Ich habe [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] auch mal in die Gleichung
> eingesetzt und erhalte eine wahre Aussage.
Ja, sorry: ich hatte mich verrechnet. Diese Lösung stimmt. Beachte aber, dass die Division durch (1-cos(x)) nicht äquivalent ist, d.h. da fliegen Lösungen mit cos(x)=1 raus, die du auch noch berücksichtigen musst.
>
> > Und jetzt noch den Tipp von Sax mit der zweiten Ableitung /
> > pq-Formel umsetzen, das ergibt die fünfte und dein LGS
> > steht.
>
> Wenn ich so unwissend fragen darf: Was meinst du denn mit
> fünf Bedingungen? Dass ich am Ende fünf Gleichungen für
> mein LGS erhalte und so vorgehe, dass ich nacheinander die
> Unbekannten ausrechne?
>
> Für meine letzte Gleichung:
>
> f''(x) = 12 [mm]ax^{2}[/mm] + 6bx + 2c
>
> Für pq:
>
> 0 = [mm]ax^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] bx + [mm]\bruch{1}{6}c[/mm]
>
> Kann ich dann einfach:
>
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = [mm]-\bruch{p}{2}[/mm] mit p = [mm]\bruch{1}{2}b[/mm] ?
>
> Sodass, b = [mm]-\bruch{8}{3}[/mm] ?
>
> Wenn ja, wie geht es dann weiter?
Hier habe ich gerade keine Zeit mehr (ich wollte nur meinen Fehler richtigstellen). Ich habe daher auf 'teilweise beantwortet' gestellt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Do 19.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [...]
> > Und jetzt noch den Tipp von Sax mit der zweiten Ableitung /
> > pq-Formel umsetzen, das ergibt die fünfte und dein LGS
> > steht.
>
> Wenn ich so unwissend fragen darf: Was meinst du denn mit
> fünf Bedingungen? Dass ich am Ende fünf Gleichungen für
> mein LGS erhalte und so vorgehe, dass ich nacheinander die
> Unbekannten ausrechne?
So ist das gemeint, du bekommst ein lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen für die 5 zu bestimmenden Parameter a, b, c d und e.
>
> Für meine letzte Gleichung:
>
> f''(x) = 12 [mm]ax^{2}[/mm] + 6bx + 2c
>
> Für pq:
>
> 0 = [mm]ax^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] bx + [mm]\bruch{1}{6}c[/mm]
>
> Kann ich dann einfach:
>
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = [mm]-\bruch{p}{2}[/mm] mit p = [mm]\bruch{1}{2}b[/mm] ?
Nicht ganz, du musst noch durch a dividieren.
[mm] 0=12ax^{2}+6bx+2c
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow0=x^{2}+\frac{b}{2a}x+\frac{c}{2a}
[/mm]
Also, mit der p-q-Formel:
[mm] x_{1;2}=-\frac{\frac{b}{2a}}{2}\pm\sqrt{\ldots}
[/mm]
Da der Wert exakt zwischen den Nullstellen gesucht ist, muss gelten
[mm] -\frac{\frac{b}{2a}}{2}=\frac{2}{3}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow-\frac{b}{4a}=\frac{2}{3}
[/mm]
Multipliziere diese Gleichung nun noch mit 4a und mit 3, und du hast eine schöne lineare 5. Gleichung für den GLS
>
> Sodass, b = [mm]-\bruch{8}{3}[/mm] ?
>
> Wenn ja, wie geht es dann weiter?
>
>
Löse das GLS, aus der Schule sollte dir der Gauß-Algorithmus bekannt sein.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Do 19.12.2013 | | Autor: | balthier |
Gelöst. Danke für alles.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Do 19.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo nochmals,
du bist hier relativ ungünstig vorgegangen, indem du zwei Fagen in einen Thread vermsicht hast, die auch inhaltlich überhaupt nicht zusammenpassen.
Erstelle besser in Zukunft für jede Aufgabe einen eigenen Thread, und zwar damit wir alle den Überblick behalten. 
Gruß, Diophant
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