Gleichungen mit mehreren Variablen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Sa 13.03.2004 | | Autor: | Josef |
Ich habe überhaupt keine Idee, wie ich folgende Gleichung lösen kann.
Auch mit Beseitigung der Nenner komme ich nicht weiter.
A: [mm]\bruch{x}{a}[/mm]+[mm]\bruch{y}{b}[/mm]+[mm]\bruch{z}{c}[/mm] = ab+c(a+b)
B: [mm]\bruch{x}{b}[/mm]+[mm]\bruch{y}{c}[/mm]+[mm]\bruch{z}{a}[/mm] = a²+b²+c²
C: [mm]\bruch{x}{ab}[/mm]+[mm]\bruch{y}{bc}[/mm]-[mm]\bruch{z}{ac}[/mm] = a+b-c
Als Lösung soll sein:
x = a²b
y = b²c
z = ac²
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Sa 13.03.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Josef,
hat leider etwas länger gedauert, habe mir erst noch die PISA-Sendung angeschaut ... wenn ich die Aufgaben irgendwo finde, werde ich sie vielleicht mal hier posten.
Ganz durch gerechnet habe ich die Aufgabe auch noch nicht (ziemlich rechenintensiv), aber ganz allgemein kannst Du solche Aufgaben mit dem Gauß-Algorithmus lösen. (s. https://matheraum.de/read?f=2&t=81&i=81, da hat Marc das sehr schön erklärt.) Der einzige Unterschied zu Deiner Aufgabe ist, dass es sich bei den Koeffizienten von x, y und z um Parameter und keine expliziten Zahlen handelt, aber das stört bei der Rechnung überhaupt nicht.
Dazu beseitigst Du der Einfachheit halber (macht die rechte Seite dafür komplizierter) erst einmal die Nenner und wendest dann den oben erwähnten Algorithmus an.
Eventuell gibt es bei der Aufgabe auch einen Kniff, der einem das ganze Gerechne spart, aber den sehe ich im Moment nicht.
Probier's bitte mal und sag' Bescheid, ob Du zur Lösung vorgedrungen bist.
Oliver
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 So 14.03.2004 | | Autor: | Oliver |
Noch was ....
... auf Deine Lösung kommt man in diesem speziellen Fall auch dadurch, dass die Terme auf der rechten Seite genau mit denen auf der linken Seite korrespondieren.
Zum Beispiel in Gleichung C:
[mm]\bruch{x}{ab} = a[/mm]
[mm]\bruch{y}{bc} = b[/mm]
[mm]-\bruch{z}{ac} = -c[/mm]
Damit bekommst Du die von Dir genannten Lösungen
[mm]x = a^2b[/mm]
[mm]y = b^2c[/mm]
[mm]z = ac^2[/mm]
Die Werte kannst Du jetzt in die beiden übrigen Gleichungen einsetzen und siehst, dass sie auch diese lösen.
Ich will jetzt nicht in die Tiefe gehen (wenn Interesse besteht, mache ich das gerne), aber wenn Du dann noch zeigst, dass das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, hast Du damit bewiesen dass es nur diese eine Lösung gibt und Du hast die Aufgabe vollständig und korrekt beantwortet.
Aber wie gesagt, das funktioniert nur in Deinem speziellen Fall so schön mit probieren, generell klappt das natürlich nicht ...
Bye
Oliver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 14.03.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo Oliver, zumindest weis ich jetzt, wie diese Aufgabe gelöst werden kann. Mit dem herkömmlichen Additionsverfahren kann ich die Aufgabe jedoch nicht lösen.
Hier meine Berechnung:
A: [mm]\bruch{x}{a}[/mm]+[mm]\bruch{y}{b}[/mm]+[mm]\bruch{z}{c}[/mm] = ab+ac+bc | HN = abc
B: [mm]\bruch{x}{b}[/mm]+[mm]\bruch{y}{c}[/mm]+[mm]\bruch{z}{a}[/mm] = a²+b²+c² | HN = abc
C: [mm]\bruch{x}{ab}[/mm]+[mm]\bruch{y}{bc}[/mm]-[mm]\bruch{z}{ac}[/mm] = a+b-c | HN = abc
Beseitigung der Nenner:
A: xbc+yac+zab = a²b²c+a²bc²+ab²c²
B: xac+yab+zbc = a³bc+ab³c+abc³
C: xc+ya-zb = a²bc+ab²c-abc²
Gleichung A mit a multiplizieren
Gleichung B mit -b multiplizieren:
A: xabc+ya²c+za²b = a³b²c+a³bc²+a²b²c²
B:-xabc-yab²-zb²c =-a³b²c-ab[mm]^4[/mm]c-ab²c³
A+B addieren:
AB: ya²c-yab²+za²b-zb²c = a³bc²+a²b²c²-ab[mm]^4[/mm]c-ab²c³
A: xbc+yac+zab = a²b²c+a²bc²+ab²c²
C:-xbc-yabc-zb² = -a²b²c-ab³c+ab²c²
AC: yac-yabc+zab-zb² = a²bc²-ab³c+2(ab²c²)
AB: ya²c-yab²+za²b-zb² = a³bc²+a²b²c²-ab[mm]^4[/mm]c-ab²c³
Gleichung AC mit -a multipliziere:
AC: -ya²c+ya²bc-za²b+zab² = -a³bc²+a²b³c
AB: ya²c-yab²+za²b-zb² = a³bc²+a²b²c²-ab[mm]^4[/mm]c-ab²c³
AC+AB:
ya²bc-ayb²+zab²-zb² = a²b³c+a²b²c²-ab[mm]^4[/mm]c-ab²c³
Paßt nicht. Vielleicht muß man vorher schon ausklammern und kürzen.
Ich versuche es gelegentlich noch einmal. Ist jetzt nicht so wichtig.
Vielen Dank für deine Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 So 14.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Josef,
> Hallo Oliver, zumindest weis ich jetzt, wie diese Aufgabe
> gelöst werden kann. Mit dem herkömmlichen
> Additionsverfahren kann ich die Aufgabe jedoch nicht
> lösen.
doch, das geht natürlich (theoretisch) und gibt einem Gewissheit, dass die Aufgabe lösbar ist.
> Hier meine Berechnung:
>
> A: [mm]\bruch{x}{a}[/mm]+[mm]\bruch{y}{b}[/mm]+[mm]\bruch{z}{c}[/mm] = ab+ac+bc | HN =
> abc
> B: [mm]\bruch{x}{b}[/mm]+[mm]\bruch{y}{c}[/mm]+[mm]\bruch{z}{a}[/mm] = a²+b²+c² | HN
> = abc
> C: [mm]\bruch{x}{ab}[/mm]+[mm]\bruch{y}{bc}[/mm]-[mm]\bruch{z}{ac}[/mm] = a+b-c | HN
> = abc
>
> Beseitigung der Nenner:
>
> A: xbc+yac+zab = a²b²c+a²bc²+ab²c²
> B: xac+yab+zbc = a³bc+ab³c+abc³
> C: xc+ya-zb = a²bc+ab²c-abc²
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier sieht man jetzt auch, dass es sich um eine lineares Gleichungssystem handelt.
> Gleichung A mit a multiplizieren
> Gleichung B mit -b multiplizieren:
>
> A: xabc+ya²c+za²b = a³b²c+a³bc²+a²b²c²
> B:-xabc-yab²-zb²c =-a³b²c-ab[mm]^4[/mm]c-ab²c³
> A+B addieren:
>
> AB: ya²c-yab²+za²b-zb²c = a³bc²+a²b²c²-ab[mm]^4[/mm]c-ab²c³
> A: xbc+yac+zab = a²b²c+a²bc²+ab²c²
> C:-xbc-yabc-zb² = -a²b²c-ab³c+ab²c²
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Müßte es statt "-yabs" bei C nicht lauten: "-yab"? Also:
C:-xbc-yab-zb² = -a²b²c-ab³c+ab²c²
> AC: yac-yabc+zab-zb² = a²bc²-ab³c+2(ab²c²)
Na gut, der Rest ist natürlich folgerichtig, aber falsch.
> AB: ya²c-yab²+za²b-zb² = a³bc²+a²b²c²-ab[mm]^4[/mm]c-ab²c³
>
> Gleichung AC mit -a multipliziere:
>
> AC: -ya²c+ya²bc-za²b+zab² = -a³bc²+a²b³c
> AB: ya²c-yab²+za²b-zb² = a³bc²+a²b²c²-ab[mm]^4[/mm]c-ab²c³
>
> AC+AB:
> ya²bc-ayb²+zab²-zb² = a²b³c+a²b²c²-ab[mm]^4[/mm]c-ab²c³
>
> Paßt nicht. Vielleicht muß man vorher schon ausklammern und
> kürzen.
Das kann ja nicht sein, jedenfalls wird beim Additionsverfahren ja immer so gerechnet (multipliziert und addiert), dass es passt. Um aber zu wissen, mit welcher Zahl/welchem Term man eine Gleichung geschickterweise multipliziert, solltest du die gesamten Koeffizienten der Variablen kennen, also (hier) y in beiden Gleichungen ausklammern.
> Ich versuche es gelegentlich noch einmal. Ist jetzt nicht
> so wichtig.
Der Rechenweg war ja richtig bis auf den Flüchtigkeitsfehler und müßte auch jetzt sehr schnell zum Ziel führen.
Viel Erfolg und hoffentlich bis bald mit deinen weiteren Lösungsschritten,
Marc
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