Gleichungen lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man bestimmte die Lösungen folgender Gleichungen:
a) z+i = [mm] -\bruch{5i}{z-1}
[/mm]
b) |z+3i| = Re 2iz |
Ich habe sehr große Schwierigkeiten diese beiden Gleichungen zu lösen, ich verrechne mich die ganze Zeit...
bei a) habe ich folgendes hinbekommen:
zunächst einmal habe ich mit z-1 multipliziert, dann ausmultipliziert und z²+z(-1+i)+4i =0 herausbekommen.. dann die p-q formel angewendet und schließlich z1,2 = [mm] -\bruch{1}{2}i [/mm] +- [mm] \wurzel{-\bruch{1}{4}-4i} [/mm] herausbekommen.. danach habe ich gesagt dass a²-b² = [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] ist (realteil) und 2ab = -4 => [mm] b=-\bruch{4}{2a} [/mm] (imaginärteil)... dann habe ich b in b² eingesetzt und nach a hin aufgelöst.. erst mit a² erweitert, danach wieder pq-formel.. da hatte ich dann: a² = [mm] -\bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \wurzel{-\bruch{1}{16}-4} [/mm] ... nun habe ich keine ahnung wie ich weiter rechnen soll, wahrscheinlich ist da auch schon der eine oder andere fehler drin :(
bei b) habe ich für z=x+iy eingesetzt, schließlich kam dort nach Auflösung folgendes raus:
|z+3i| = |2ix-2y|
wie gehe ich da nun weiter vor? Ich wüsste noch einen Schritt:
Re(2i(x+iy) = Re (2ix-2y) = 2y (da nur der Realteil betrachtet wird..)
Muss ich die beiten Ergebnisse nun gleichsetzen? wie geht man da nun am besten vor?
ich hoffe auf ein wenig weisheit :) danke schön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mi 12.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Man bestimmte die Lösungen folgender Gleichungen:
> a) z+i = [mm]-\bruch{5i}{z-1}[/mm]
> b) |z+3i| = Re 2iz
> Ich habe sehr große Schwierigkeiten diese beiden
> Gleichungen zu lösen, ich verrechne mich die ganze Zeit...
> bei a) habe ich folgendes hinbekommen:
> zunächst einmal habe ich mit z-1 multipliziert, dann
> ausmultipliziert und z²+z(-1+i)+4i =0 herausbekommen.. dann
> die p-q formel angewendet und schließlich z1,2 =
> [mm]-\bruch{1}{2}i[/mm] +- [mm]\wurzel{-\bruch{1}{4}-4i}[/mm]
das ist schon mal falsch. p ist doch in der Gleichung (-1+i) du tust als ob das 1 waere!
also erstmal das berichtigen.
> herausbekommen.. danach habe ich gesagt dass a²-b² =
> [mm]-\bruch{1}{4}[/mm] ist (realteil) und 2ab = -4 =>
> [mm]b=-\bruch{4}{2a}[/mm] (imaginärteil)... dann habe ich b in b²
> eingesetzt und nach a hin aufgelöst.. erst mit a²
> erweitert, danach wieder pq-formel.. da hatte ich dann: a²
> = [mm]-\bruch{1}{8}[/mm] + [mm]\wurzel{-\bruch{1}{16}-4}[/mm] ... nun habe
> ich keine ahnung wie ich weiter rechnen soll,
> wahrscheinlich ist da auch schon der eine oder andere
> fehler drin :(
das ist soviel Durcheinander dass ichs gar nicht verstehe.
wenn du das Ergebnis der pq Formel hast, bleibt als Problem die Wurzel! und zwar [mm] \wurzel{(\bruch{i-1}{2})^2-4i}
[/mm]
weisst du wie man komplexe Wurzeln zieht? kennst du die Form von komplexen Zahlen [mm] c=r*e^{i*\phi} [/mm] in die Form musst du die Zahl unter der Wurzel bringen um die Wurzel leicht zu ziehen. dazu erst die Klammer ausquadriern, dann zusammenfassen in Realteil und Imaginaerteil, dann in die Polarform bringen, Wurzel ziehen, zuruechverwandeln in die Form a+ib und zu dem vorderen Teil addieren.
> bei b) habe ich für z=x+iy eingesetzt, schließlich kam dort
> nach Auflösung folgendes raus:
> |z+3i| = |2ix-2y|
in der Aufgabe stand bei Re(2i*z) kein Betragsstrich?
> wie gehe ich da nun weiter vor? Ich wüsste noch einen
> Schritt:
>
> Re(2i(x+iy) = Re (2ix-2y) = 2y (da nur der Realteil
> betrachtet wird..)
wenn da | | steht ist das richtig, sonst waere es -2y.
jetzt musst du noch Betrag von z+3i auch durch x,y ausdruecken. dann hast du ne Gleichung mit x und y
schreib alles auf eine Seite, so dass du =0 hast.
jetzt sortier nach Realteil und imaginaerteil, beide muessen einzeln 0 sein, also 2 gleichungen fuer die gesuchten x und y.
Auch die erste Gleichung kann man so loesen, indem man z=x+iy stst, alles ausmult. dann nach Im und Re trennen. (find ich aber umstaendlicher)
gruss leduart
Gruss leduart
>
> Muss ich die beiten Ergebnisse nun gleichsetzen? wie geht
> man da nun am besten vor?
>
> ich hoffe auf ein wenig weisheit :) danke schön!
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mi 12.11.2008 | | Autor: | matzew611 |
alles klar also zu a, absolut dumm von mir, ich rechne die jetzt zum zehnten mal neu, bin aber denk auf nem besseren weg.. für a habe ich jetzt schon mal 3/2 herausbekommen.....
zur b) bei Re(2i*z) steht kein Betragsstrich, danke für den tipp wie ich da nun weitermachen kann... ich rechne nun erstmal ....
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a)
z+i = [mm] -\bruch{5i}{z-1} [/mm] |*z-1
=> z² + z(i-1) +4i = 0
=> z1,2= [mm] -\bruch{i-1}{2}+-\wurzel{-\bruch{(i-1}{2})²-4i}
[/mm]
=> z1,2= [mm] -\bruch{i-1}{2}+-\wurzel{-\bruch{(i²-2i+1}{4})²-4i}
[/mm]
=> z1,2= [mm] -\bruch{i-1}{2}+-\wurzel{-\bruch{9}{2}i}
[/mm]
x²+y² =0 und [mm] 2xy=-\bruch{9}{2} [/mm] => y= - 9/2/2x (soll ein doppelbruch sein, weiss nicht wie ich das hier darstellen kann)
=>x²+ (- 9/2/2x)² = 0
<=> x = 9/2/2x
<=> x² = [mm] \bruch{9}{4}
[/mm]
<=> x = +- 3/2
x in [mm] 2xy=-\bruch{9}{4} [/mm] eingesetzt
=> y = 3/2
wäre es bis dahin richtig? oder führt an der polarform kein weg dran vorbei? habe davon nämlich noch nichts gehört... ansonsten versuche ich es gleich nochmal mit deinen angaben: "dazu erst die Klammer ausquadriern, dann zusammenfassen in Realteil und Imaginaerteil, dann in die Polarform bringen, Wurzel ziehen, zuruechverwandeln in die Form a+ib und zu dem vorderen Teil addieren."
b)
| z+3i | = Re2iz z=x+iy
| z+3i | = |2ix - 2y| (Frage: müssen da nun die Betragsstriche hin bei der Umformung, oder habe ich mir die nur herbeigedichtet?)
=>
Re(2ix-2y) = -2y
Im(2ix-2y) = 2x
|z + 3i| = | x+iy+3i|
=>
Re(x+iy+3i) = x
Im(x+iy+3i) = y+3
Re: x - 2y = 0
Im: 2x-y-3 = 0 |*(-2)
________________
=> -4x + 2y + 6 = 0
Re+Im = -3x + 6 = 0 => x=2
x = 2 setzen => y=1
nun weiss ich nicht weiter...
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Hallo matzew611,
> a)
>
> z+i = [mm]-\bruch{5i}{z-1}[/mm] |*z-1
> => z² + z(i-1) +4i = 0
> => z1,2= [mm]-\bruch{i-1}{2}+-\wurzel{-\bruch{(i-1}{2})²-4i}[/mm]
[mm]\blue{z_{1,2}=-\bruch{i-1}{2}\pm \wurzel{\left(\bruch{i-1}{2}\right)^{2}-4i}}[/mm]
> => z1,2=
> [mm]-\bruch{i-1}{2}+-\wurzel{-\bruch{(i²-2i+1}{4})²-4i}[/mm]
[mm]\blue{z_{1,2}=-\bruch{i-1}{2}\pm \wurzel{\left(\bruch{i^{2}-2i+1}{4}\right)-4i}}[/mm]
> => z1,2= [mm]-\bruch{i-1}{2}+-\wurzel{-\bruch{9}{2}i}[/mm]
>
> x²+y² =0 und [mm]2xy=-\bruch{9}{2}[/mm] => y= - 9/2/2x (soll ein
> doppelbruch sein, weiss nicht wie ich das hier darstellen
> kann)
Die Formeln kannst Du mit unserem [url=https://matheraum.de/mm] Formeleditor [/url darstellen.
Das erhöht die Lesbarkeit von Formeln ungemein.
Die zwei Bedingungsgleichungen lauten:
[mm]\blue{x^{2}-y^{2}=0}[/mm]
[mm]\blue{2xy=-\bruch{9}{2}}[/mm]
Aus der letzten Gleichung folgt: [mm]\blue{y=-\bruch{9}{\bruch{2}{2x}}}[/mm]
> =>x²+ (- 9/2/2x)² = 0
> <=> x = 9/2/2x
> <=> x² = [mm]\bruch{9}{4}[/mm]
> <=> x = +- 3/2
>
> x in [mm]2xy=-\bruch{9}{4}[/mm] eingesetzt
> => y = 3/2
Zu diesem y gehört doch ein bestimmtes x.
>
> wäre es bis dahin richtig? oder führt an der polarform kein
> weg dran vorbei? habe davon nämlich noch nichts gehört...
> ansonsten versuche ich es gleich nochmal mit deinen
> angaben: "dazu erst die Klammer ausquadriern, dann
> zusammenfassen in Realteil und Imaginaerteil, dann in die
> Polarform bringen, Wurzel ziehen, zuruechverwandeln in die
> Form a+ib und zu dem vorderen Teil addieren."
Bis dahin stimmts. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)
> | z+3i | = Re2iz z=x+iy
> | z+3i | = |2ix - 2y| (Frage: müssen da nun die
> Betragsstriche hin bei der Umformung, oder habe ich mir die
> nur herbeigedichtet?)
Die Betragsstriche auf der rechten Seite sind nur herbeigedichtet worden.
>
> =>
> Re(2ix-2y) = -2y
> Im(2ix-2y) = 2x
>
> |z + 3i| = | x+iy+3i|
>
> =>
> Re(x+iy+3i) = x
> Im(x+iy+3i) = y+3
>
> Re: x - 2y = 0
>
> Im: 2x-y-3 = 0 |*(-2)
> ________________
> => -4x + 2y + 6 = 0
>
> Re+Im = -3x + 6 = 0 => x=2
>
> x = 2 setzen => y=1
>
> nun weiss ich nicht weiter...
>
Quadriere doch die Gleichung, dann fallen erstmal die Betragsstriche weg.
Dann mußt Du aber noch ne Fallunterscheidung machen.
Gruß
MathePower
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oke a) ist mir nun klar, hatte ja schon fast die lösung, ergebnis ist dann:
$ \blue{z_{1,2}=-\bruch{i-1}{2}\pm \wurzel{\left\bruch{3}{2}\right-{\left\bruch{3}{2}\right}i} $
bei b) bin ich jetzt soweit:
|z+3i| = Re2iz z=x+iy
<=>|z+3i| = 2ix-2y
<=>z+3i = (2ix-2y)²
<=>x+iy+3i = 4ix²-8ixy+4y²
=> Re(x+iy+3i) = Re(4ix²-8ixy+4y²)
<=>x=4y²
=> Im(x+iy+3i) = Im(4ix²-8ixy+4y²)
<=>y+3=4x²-8xy
Nun setze ich die beiden Gleichungen gleich Null:
Re: x-4y²=0
Im: 4x²-8xy-y-3=0
Tut mir leid, aber ich weiss trotz eurer Tipps nicht was ich da jetzt machen soll, ... das Ergebnis weiss ich mittlerweile, da kommt wohl:
x1/2 = +- \wurzel{(3y²-6y-9)} heraus, alternativ könnte man etwas mit der Hyperbalgleichung machen..
Ist mein Anfang nun so richtig? Wie mache ich das denn nun mit der Fallunterscheidung... die Aufgabe nervt mich mittlerweile.. Papula musste schon leiden.. :) versteh das einfach nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Fr 14.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a)
Du hatest doch grade ausgerechnet, dass [mm] (1-i)^2=-2i [/mm] ist
also ist [mm] -i=(1-i)^2/2
[/mm]
und [mm] \wurzel{-i}=\pm1/\wurzel{2} [/mm] *(1-i)
damit ist [mm] \wurzel{-9/2i}=\pm 3/\wurzel{2}* 1/\wurzel{2} [/mm] *(1-i)= [mm] \pm [/mm] 3/2 *((1-i)
das noch zu den -(1-i)/2 addieren und die 2 Loesungen z1 und z2 getrennt aufschreiben.
zu b) ddu hast rechs quadriert, links nicht!
|z+3i|=Re(2iz)
|x+i*(y+3)|=-2y
jetzt den Betrag bilden!
[mm] \wurzel{x^2+(y+3)^2}=-2y
[/mm]
das ist nicht moeglich, wenn y>0 d.h. ab hier gilt [mm] y\le0
[/mm]
(ein Betrag kann nicht negativ sein.
das muss man vorher sehen, weil jetzt beim Quadrieren das - verloren geht!
jetzt quadrieren!
links faellt die [mm] \wurzel [/mm] weg rechts kommt [mm] 4y^2
[/mm]
Schwere Geburt!
Gruss leduart
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