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Forum "Mechanik" - Gleichungen lösen
Gleichungen lösen < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Gleichungen lösen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 So 12.03.2017
Autor: Marie886

Aufgabe
Um ein Auto anzuhalten, benötigen Sie zunächst eine bestimmte Reaktionszeit, bevor Sie überhaupt anfangen zu bremsen; danach wird der Wagen unter dem Einfluss einer konstanten Bremsverzögerung langsamer.
Nehmen Sie an, dass sich Ihr Auto während dieser beiden Phasen bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 80,5km/h insgesamt 56,7m weit bewegt, während Sie bei einer ursprünglichen Geschwindigkeit von 48,3km/h insgesamt 24,4m brauchen, bis Ihr Fahrzeug zu stehen kommt. Wie groß sind Ihre Reaktionszeit und der Betrag der Verzögerungsrate?


Hallo,

theoretisch verstehe ich das Beispiel. Die Geichungen für die Anfangsgeschwindigkeiten sind:

[mm] x_1= v_1*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a} [/mm]
und
[mm] x_2= v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a} [/mm]

nun soll ich diese Gleichungen gleichzeitig nach [mm] t_r [/mm] und a auflösen.

Wie fange ich da am besten an?

Indem ich die erste Gleichung nach [mm] t_r [/mm] auflöse und das dann in [mm] x_2 [/mm] einsetze. Mein Problem ist nun das "a" in der ersten Gleichung. Drücke ich es durch einen anderen Term aus [mm] (a=\bruch{v-v_0}{t})? [/mm]

Dann habe ich ja wieder das t drinnen oder hebe ich es im Zug des [mm] t_r [/mm] heraus?
Ich glaub ich habe wirklich schon alles probiert- komme aber nicht auf die gewünschten Lösungen:

[mm] t_r= \bruch{v^2_2*x_1-v^2_1*x_2}{v_1v_2*(v_2-v_1)} [/mm]

a= [mm] -\bruch{1}{2}*\bruch{v_2v^2_1-v_1v^2_2}{v_2x_1-v_1x_2} [/mm]

LG,
Marie


        
Bezug
Gleichungen lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 So 12.03.2017
Autor: chrisno


>  ....
> theoretisch verstehe ich das Beispiel. Die Geichungen für
> die Anfangsgeschwindigkeiten sind:
>  
> [mm]x_1= v_1*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a}[/mm]
>  und
> [mm]x_2= v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]
>  
> nun soll ich diese Gleichungen gleichzeitig nach [mm]t_r[/mm] und a
> auflösen.
>
> Wie fange ich da am besten an?
>
> Indem ich die erste Gleichung nach [mm]t_r[/mm] auflöse und das
> dann in [mm]x_2[/mm] einsetze.

Das mache ich nun für Dich.
[mm]x_1= v_1*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a}[/mm]
[mm]\br{x_1}{v_1}= t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a}[/mm]
[mm]\br{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a}= t_r[/mm]


[mm]x_2= v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]
[mm]x_2= v_2*\left( \br{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a} \right)-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]
nachdem [mm] $t_r$ [/mm] ersetzt wurde, ist es aus der Gleichung verschwunden. Nun ist nur noch a in der Gleichung.
Löse die Klammer auf, fasse die beiden Brüche mit a zusammen, löse dann nach a auf.


> Mein Problem ist nun das "a" in der
> ersten Gleichung. Drücke ich es durch einen anderen Term
> aus [mm](a=\bruch{v-v_0}{t})?[/mm]

Nein, denn wenn Du [mm] $t_r$ [/mm] einsetzt, ist a die Variable, die Du bestimmen willst.

>  
> ...


Bezug
                
Bezug
Gleichungen lösen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Mo 13.03.2017
Autor: Marie886

Danke, das war echt nett! :-)

Traurig aber wahr, hänge ich schon wieder beim Umformen.

Ich schreib mal was ich habe:

[mm] x_2= v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a} [/mm]

[mm] t_r [/mm] eingesetzt ergibt:

[mm] x_2= v_2* \left(\bruch{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a}\right)-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a} [/mm]

Klammer aufgelöst:

[mm] x_2= [/mm] [mm] \bruch{v_2*x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_2* v^2_1}{a} -\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a} [/mm]

[mm] v_1 [/mm] auf die andere Seite:

[mm] x_2*v_1= v_2*x_1 +\bruch{1}{2a}*(v_2v^2_1-v^2_2) [/mm]

nun würde ich den Term mit 2a auf die linke Seite bringen:


[mm] x_2*v_1-\bruch{1}{2a}*(v_2v^2_1-v^2_2)=v_2*x_1 [/mm]

[mm] -\bruch{1}{2a}*(v_2v^2_1-v^2_2)=v_2*x_1-x_2*v_1 [/mm]

Jetzt *a:


[mm] -\bruch{1}{2}*(v_2v^2_1-v^2_2)=(v_2*x_1-x_2*v_1)*a [/mm]

den Term bei a auf die andere Seite und ich habe fast das Ergebnis:

[mm] -\bruch{1}{2} \bruch{(v_2v^2_1-v^2_2)}{(v_2*x_1-x_2*v_1)} [/mm] =a

Im Zähler fehlt mir leider das [mm] v_1. [/mm] Wie komme ich denn da hin? Wo liegt mein Fehler?

LG,
Marie


Bezug
                        
Bezug
Gleichungen lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Mo 13.03.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich schreib mal was ich habe:

>

> [mm]x_2= v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]

>

> [mm]t_r[/mm] eingesetzt ergibt:

>

> [mm]x_2= v_2* \left(\bruch{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a}\right)-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]

>

Hier ist schon der erste Fehler: in der Klammer muss der zweite Summand [mm] \frac{v_1}{2a} [/mm] heißen, da ja bei der Auflösung der ersten Gleichung nach [mm] t_r [/mm] durch [mm] v_1 [/mm] dividiert wurde!

> Klammer aufgelöst:

>

> [mm]x_2=[/mm] [mm]\bruch{v_2*x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_2* v^2_1}{a} -\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]

>

> [mm]v_1[/mm] auf die andere Seite:

>

> [mm]x_2*v_1= v_2*x_1 +\bruch{1}{2a}*(v_2v^2_1-v^2_2)[/mm]

>

Das ist nun ganz abenteuerlich, ab hier müssen wir nicht mehr weitersuchen. Wenn du hier - warum auch immer - [mm] v_1 [/mm] auf die andere Seite bringen möchtest, dann multiplizierst du ja mit [mm] v_1. [/mm] Dann muss aus dem Quadrat im zweiten Summanden ja [mm] v_1^3 [/mm] werden.

Korrigiere mal die Sache mit [mm] v_1, [/mm] löse dann die Klammer auf und bringe erst einmal den kompletten Summanden ohne a nach links. Dann die beiden verbleibenden Summanden zusammenfassen und etwa den Kehrwehrt bilden. Denn: du willst doch nach a auflösen?


Gruß, Diophant
 

Bezug
                                
Bezug
Gleichungen lösen: geschafft!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:34 Di 14.03.2017
Autor: Marie886

So, habe es nun geschafft :-)

[mm] x_1=v_1*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a} [/mm]

[mm] x_2=v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a} [/mm]

Ich vergaß dass bei Division/Multiplikation alle Terme der Gleichung mit der Variable zu multiplizieren/dividieren sind!


[mm] x_1=v_1*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a} [/mm]   | [mm] :v_1 [/mm]

[mm] \bruch{x_1}{v_1}= t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a} [/mm]   | [mm] +\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a} [/mm]
[mm] t_r= \bruch{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a} [/mm]

jetzt [mm] t_r [/mm] in [mm] x_2 [/mm] einsetzen:


[mm] x_2=v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a} [/mm]

[mm] x_2=v_2*\left( \bruch{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a}\right)-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a} [/mm]
[mm] x_2=\bruch{v_2x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_2v_1}{a}-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a} |*v_1 [/mm]
[mm] v_1x_2= v_2x_1+\bruch{1}{2}\bruch{v_2v^2_1}{a}-\bruch{v^2_2v_1}{a} |-v_2x_1 [/mm]
[mm] v_1x_2-v_2x_1=\bruch{1}{2a}*(v_2v^2_1-v^2_2v_1) [/mm]  |*2    | : (...)

[mm] \bruch{2*(v_1x_2-v_2x_1)}{(v_2v^2_1-v^2_2v_1)}= \bruch{1}{a} [/mm]   |*a

a* [mm] \left(\bruch{2*(v_1x_2-v_2x_1)}{v_2v^2_1-v^2_2v_1}\right)=1 [/mm]    |: (...)  außen*außen und innen*innen

[mm] a=\bruch{1}{2}*\bruch{v_2v^2_1-v^2_2v_1}{v_1x_2-v_2x_1} [/mm]

mit den Werten eingesetzt, ergibt es für [mm] a=-6,33\bruch{m}{s^2} [/mm]


Danke!

LG,
Marie




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