Gleichungen in C lösen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle [mm] z\in [/mm] C mit [mm] z^2=i [/mm] bzw. [mm] z^4=i. [/mm] |
Hallo zusammen?
Mir ist nicht ganz klar, was hier genau zu tun ist. Man hat mir gesagt, dass ich es mit Polarkoordinaten versuchen soll, aber wenn ich dann einsetze, weiß ich nicht, was r und [mm] \nu [/mm] sein soll.
[mm] z=r\*(cos\nu+isin\nu)=|z|E(\nu)
[/mm]
und dann gibts noch ne Gleichung, dass [mm] z_{k}=\wurzel[n]{r}E((\nu+2\pi\*k)/n) [/mm] k=0,1,...,n-1
Kann mir jemand weiterhelfen, wie das hier genau funktioniert? Wäre sehr nett und danke schonmal!
|
|
| |
|
Hallo loecksche!
Zeichne Dir mal die komplexe Zahl $i \ = \ 0+1*i$ in die Gauß'sche Zahlenebene ein. Da sollte dann der Winkel [mm] $\nu$ [/mm] schnell klar werden.
Bei $r_$ ist der Betrag der komplexen Zahl gemeint mit $r \ = \ [mm] \left|a+b*i\right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a^2+b^2}$ [/mm] .
Zur Berechnung der Wurzel(n) dann mit der bereits erwähnten  Moivre-Formel vorgehen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Also wenn ich das aufzeichne, dann kommt bei mir raus, dass der Winkel 0° ist. Und was soll ich für r einsetzen? Darüber weiß ich ja gar nix. Wenn ich das dann einfach als [mm] \wurzel{a^2+b^2} [/mm] einsetze, dann hab ich ja zwei Wurzelzeichen übereinander. Und der cos von 0 ist 1 und der sin von 0 ist 0 und damit E immer gleich. Wie wird denn verwendet, dass die Lsg. der Gleichung i sein soll?
Tut mir leid, habs net gerafft, aber danke fürs helfen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Mo 13.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also wenn ich das aufzeichne, dann kommt bei mir raus, dass
> der Winkel 0° ist.
Was hast du denn aufgezeichnet? Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier!
> Und was soll ich für r einsetzen?
Den Abstand des Punktes vom Ursprung.
> Darüber weiß ich ja gar nix.
Im Gegenteil, du weisst alles Nötige: $i=0+1*i$, also ist der Abstand [mm] $r=\sqrt{0^2+1^2}$.
[/mm]
Und wenn du den Punkt noch richtig einzeichnest, kannst du auch den Winkel zur positiven x-Achse richtig ablesen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ach so! Also ist dann der Winkel zur positiven x-Achse 90°, weil i liegt ja auf der y-Achse und der Realteil ist Null. Hab ich das so richtig verstanden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Mo 13.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
okay, also r=1 und [mm] \nu [/mm] 90°. weil n= 2 ist, werde ich 2 verschiedene z werte erhalten.
[mm] z_{0}=1\*E((90°+2\*\pi\*k)/2)=1\*E(45°)=cos(45°)+i\*sin(45°)=(\pi/4)+i\*1/2\*\wurzel{2}
[/mm]
wenn ich das für k=1 eingesetzt habe, dann kam da das gleiche raus. Kann das sein?
|
|
|
| |
|
Hallo loecksche!
Nein, das kann nicht sein. Schmeißt Du denn hier nicht Bogenmaß und Gradmaß durcheinander?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Ja, da hab ich wohl was durcheinander gebracht. Jetzt hab ich berechnet:
[mm] z_{0}=1/2\*\wurzel{2}+i\+1/2\wurzel{2}
[/mm]
[mm] z_{1}=-1/2\*\wurzel{2}-i\*1/2\wurzel{2}
[/mm]
Stimmt das jetzt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mo 13.10.2008 | | Autor: | loecksche |
Ja, da hab ich wohl was durcheinander gebracht. Jetzt hab ich berechnet:
$ [mm] z_{0}=1/2*\wurzel{2}+i\+1/2\wurzel{2} [/mm] $
$ [mm] z_{1}=-1/2*\wurzel{2}-i*1/2\wurzel{2} [/mm] $
Stimmt das jetzt?
|
|
|
| |
|
Hallo loeksche!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Mo 13.10.2008 | | Autor: | loecksche |
cool, jetzt freu ich mich aber! Danke für die Hilfe!
|
|
|
|
